grands nombres, loi des - mathématiques.

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grands nombres, loi des - mathématiques.
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PRÉSENTATION

grands nombres, loi des, loi de probabilité associée à la description d'un nombre suffisamment important d'événements aléatoires successifs.
La loi des grands nombres montre que, pour une suite d'événements aléatoires, dont une réalisation spécifique n'est pas toujours prévisible, il est tout de même possible d'édifier une loi globale de probabilité, dès lors que la suite d'événements
considérée est suffisamment grande ; cette loi de probabilité indique le « nombre de chances « associé à la réalisation d'un événement spécifique. Ainsi de façon surprenante et presque paradoxale, la succession d'un grand nombre d'événements se
produisant au hasard aboutit à la détermination d'une fonction de distribution décrivant les résultats possibles. Autrement dit, en intervenant de nombreuses fois, le hasard perd peu à peu son caractère d'imprévisibilité et de désordre, puisqu'il peut
être décrit par une formule mathématique.
Même si en mathématiques, l'expression « grand nombre « n'a pas vraiment un sens précis, puisqu'elle ne précise pas à partir de quel chiffre un nombre peut être considéré comme grand, elle indique toutefois que des conclusions mathématiques
précises peuvent être obtenues en étudiant la limite à l'infini de certaines expressions. La loi des grands nombres a de nombreuses applications en physique, notamment en mécanique statistique, où elle permet d'évaluer les grandeurs
macroscopiques d'un système contenant un grand nombre de particules, tel un volume de gaz enfermé dans une enceinte. Les molécules du gaz ont des vitesses (qui dépendent de la température du milieu) et des trajectoires aléatoires, mais comme
elles sont très nombreuses, la pression qu'elles exercent sur les parois est constante.

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ILLUSTRATION DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES

Soit une urne dont on ignore tout, si ce n'est qu'elle contient une grande quantité de boules indiscernables de couleurs différentes, blanches et noires ; si l'on cherche à déterminer la fréquence f des boules blanches présentes dans l'urne, il est
possible d'en avoir une estimation à partir de l'analyse d'un grand nombre de tirages, car la probabilité de tirer une boule blanche est a priori égale à f. Soit r, le nombre de boules blanches obtenues après n tirages dans l'urne ; r est alors un nombre
aléatoire compris entre 0 et n. La loi des grands nombres, très utilisée dans les problèmes d'estimation, montre que la fréquence p obtenue pour les boules blanches dans l'échantillon (p = r/n) sera d'autant plus proche de la fréquence f que la taille n
de l'échantillon est grande. Si n est suffisamment grand, l'échantillon peut alors être considéré comme représentatif de l'urne, c'est-à-dire que ses caractéristiques pourront être extrapolées au contenu de l'urne dans sa globalité. La fréquence p des
boules blanches dans l'échantillon peut alors être considérée comme une estimation de f, la fréquence que l'on cherche à déterminer.
En réitérant m fois l'ensemble de cette opération, on obtient m échantillons différents ; à chaque échantillon i est associée une fréquence pi, avec i compris entre 1 et m. La loi des grands nombres indique que l'écart entre les fréquences f et pi est
également un nombre aléatoire et suit la loi normale, ou loi de Laplace-Gauss, loi de répartition représentée par une courbe en cloche, dite fonction de Gauss ou gaussienne, ou encore fonction exponentielle. Autrement dit, en portant sur l'axe des
abscisses la fréquence pi observée et en ordonnée le nombre de fois qu'elle a été observée dans les m opérations, on obtient une distribution normale, centrée sur une valeur maximale égale à l'estimation la plus probable de f.

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FORMULATION DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES

L'illustration précédente de la loi des grands nombres est un cas particulier pour lequel les variables aléatoires considérées (boules) n'adoptent que deux valeurs (couleur blanche ou noire) ; elles sont dites de Bernoulli, du nom du mathématicien
Jacques Bernoulli (1654-1705), auteur du traité fondamental de la théorie des probabilités, Ars conjectandi (« l'art de conjecturer «), publié à titre posthume en 1713, dans lequel il exprime la première formulation de la loi des grands nombres, dite
faible, pour des variables de Bernoulli (théorème de Bernoulli). Dans un cas plus général, où les variables aléatoires Xn indépendantes deux à deux peuvent prendre plus de deux valeurs, la loi faible des grands nombres porte également le nom de
théorème de Khintchine du nom du mathématicien Alexandre Jakoblevitch Khintchine (1894-1959). Elle stipule que, pour une suite de variables aléatoires Xn, la limite, lorsque n tend vers l'infini, de la probabilité P que la moyenne des variables
aléatoires s'écarte même d'une petite quantité e positive de l'espérance mathématique M de la distribution probabiliste de ces variables, est nulle ; son expression mathématique est alors :

Une démonstration plus générale de la loi des grands nombres, obtenue en 1917 par les mathématiciens Francisco Paolo Cantelli (1875-1966) et Émile Borel (1871-1956), aboutit à une formulation différente de la loi des grands nombres, dite forte,
encore appelée théorème ou lemme de Borel-Cantelli : elle stipule que la probabilité que la limite de la moyenne des variables aléatoires, lorsque n tend vers l'infini, soit égale à l'espérance mathématique de la distribution, est égale à 1 ; son
expression mathématique est :

Dans le cas particulier où les variables sont de Bernoulli, la loi forte des grands nombres indique que la fréquence de réalisation d'un événement observé au cours d'un grand nombre n d'expériences, n tendant vers l'infini, se rapproche de la
probabilité P que cet événement se produise, avec une probabilité égale à 1. Par exemple, au jeu de pile ou face, quand le nombre de lancers de pièce tend vers l'infini, la fréquence des côtés « pile « (ou « face «) tend vers ½ avec une probabilité
égale à 1.
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