Grand orale de Maths: Quelles sont les grandes étapes historiques de l’élaboration du raisonnement par récurrence ?

« Quelles sont les grandes étapes historiques de l’élaboration du raisonnement par récurrence ? https://www.apmep.fr/IMG/pdf/PLegrand-Recurrence.pdf → site super intéressant et super complet https://fr.wikipedia.org/wiki/Raisonnement_par_r%C3%A9currence Pistes : → faire un plan chronologique : I - De -300 à 1888 : a) b) c) d) Euclide (précuseur) Pascal et Fermat qui jouent un rôle majeur Bernoulli et Euler qui suivent les travaux Axiomatisation : Dedeking II - Construction de N par récurrence a) 1888 : Dedeking b) 1889 : Peano + arithmétique de Peano c) Controverse Dedeking Intro : Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration essentielle en mathématiques, utilisée pour prouver la validité d'une proposition pour tous les entiers naturels.

Cette méthode repose sur deux étapes principales : la vérification de la base et l'hypothèse de récurrence. explication : (On peut s’étonner de cette différence de traitement entre la notion d’algorithme et de récurrence qui sont des concepts aussi intimement liés (que serait en effet l’algorithmique sans itérations ni tests d’arrêt ?).

On peut y voir deux explications : une certaine tendance actuelle à privilégier les instruments de calcul face au raisonnement, une méfiance très ancienne envers tout ce qui touche à l’infini. C’est sans doute cette méfiance ancestrale qui explique que récurrence et descente, entrevues dès l’Antiquité, aient eu besoin de deux millénaires pour voir leur mécanisme explicitement mis à jour.

Et l’histoire n’est pas encore vraiment terminée.) I - De -300 à 1888 : On fait souvent remonter la récurrence à Euclide, ce qui est à la fois vrai et faux. L’exemple habituellement donné est celui présent dans son livre Les Éléments, où est prouvée l’existence d’une quantité arbitrairement grande de nombres premiers. Il existe ensuite de nombreux exemples, européens, d’utilisation implicite de la récurrence ou de la descente infinie avant le XVIIe siècle.

On retrouve au premier plan Fibonacci, vers 1200, qui se sert de l’une et de l’autre (sans le dire) : en témoignent sa fameuse suite : Un+1 = Un + Un-1 et son algorithme de décomposition d’un rationnel en somme de fractions distinctes de numérateur 1. ET arabes avec notamment Al-Karaji un mathématicien persan, Ainsi, vers l'an 1000, le persan Al-Karaji établit la formule du binôme de Newton (en fait il n'a pas les notations qui lui permettrait de l'énoncer dans le cas général, mais les méthodes fonctionnent pour un entier arbitraire).

Il calcule également la somme des cubes des n premiers entiers naturels. Il semble bien cependant que Pascal, pour la récurrence, et Fermat, pour la descente infinie, soient les premiers à avoir énoncé nettement ces principes et à en avoir reconnu la puissance et la généralité. En effet, Blaise Pascal, avec son "Traité du Triangle Arithmétique", 1654 (connue aujourd'hui sous le nom de Triangle de Pascal), a utilisé des formes explicites de récurrence notamment avec sa formule qui démontre par récurrence sur n.

Pascal prouve des propriétés combinatoires, notamment des identités binomiales, en montrant comment chaque élément du triangle est la somme des deux éléments directement au-dessus de lui. De son côté, Fermat est considéré comme l’un des pères de la théorie des nombres. Même si ses méthodes étaient encore informelles, le principe de la descente infinie (1659) montre bien qu’il.... »