Grand Oral Sujet 2 Mathématique : Comment les mathématiques permettent-elle de modéliser les jeux de hasard ?

« Grand Oral Sujet 2 Mathématique : Comment les mathématiques permettent-elle de modéliser les jeux de hasard ? Introduction – Selon une enquête de 2019, publiée sur le site de l'Observatoire français des drogues et des toxicomanies, 47,2 % des français ont joué au moins une fois à un jeu d'argent et de hasard au cours de l'année écoulée.

Par exemple, certains membres de ma famille sont des joueurs réguliers.

Cela m'a donc donné l'idée de m'interroger sur les jeux de hasard et le calcul des chances de gagner à ces jeux, d'autant plus que cela fait appel à des notions de Terminale en spécialité Mathématiques : le dénombrement et la combinatoire. J'ai donc imaginé un premier jeu, de type loto, que j'appellerai le jeu numéro 1. Supposons qu'un carton de ce jeu soit composé de deux grilles : l'une de 49 numéros, de 1 à 49 ; et l'autre de 10 numéros, de 1 à 10.

J'ai schématisé ces grilles sur mon support.

Pour jouer, il faut cocher 5 numéros dans la première grille et 1 numéro dans la seconde.

Le joueur gagne lorsque les 6 numéros cochés sont corrects.

D'un point de vue mathématique, si je note E l'ensemble des entiers naturels de 1 à 49, alors cocher 5 numéros dans la première grille revient à choisir un sous-ensemble de E à 5 éléments, autrement dit, une combinaison à 5 éléments de E. Pourquoi une combinaison ? Parce que l'ordre dans lequel les numéros sont cochés n'a pas d'importance et on peut noter en plus qu'il n'y a pas de répétition. Or, d'après une propriété du cours, le nombre de combinaisons à 5 éléments pris dans un ensemble à 49 éléments est : « 49 combinaisons 5 », c'est-à-dire « factorielle 49 divisé par le produit factorielle 5 factorielle 44 » soit 1906884 choix. Concernant la seconde grille, en tenant le même raisonnement et en posant F l'ensemble des entiers naturels de 1 à 10, je constate que cocher 1 numéro de cette grille revient à choisir une combinaison à 1 élément de F.

Et d'après la même propriété, le nombre de combinaisons a 1 élément pris dans un ensemble à 10 éléments est : « 10 combinaison 1 », c'est-à-dire 10 choix. Pour en déduire le nombre total de choix je dois introduire deux nouveaux ensembles.

Je note A l'ensemble des combinaisons a 5 éléments de E (je vous rappelle que A contient 1 906 884 éléments) et je note B l'ensemble des combinaisons à 1 élément de F (B contient lui 10 éléments, les entiers de 1 à 10).

Le remplissage d’un carton du jeu numéro 1, coché avec les 6 numéros, reviens donc à prendre un élément du produit cartésien A x B.

Or d’après une propriété du cours appelée principe multiplicatif, le nombre d’élément du produit cartésien A x B est égal au produit du nombre d'éléments dans A et du nombre d'éléments dans B.

J'en déduis que le nombre de choix possibles, c'est-à-dire le nombre de cartons de jeu différents est 1906884 × 10, c'est-à-dire 19068840. Parmi tous ces cartons possibles, un seul est gagnant.

La probabilité qu'un joueur gagne grâce à son carton est donc de 1 sur 19068840 (de l'ordre de 5 x 10**-8). Imaginons maintenant un autre jeu du même type, que j'appellerai le jeu numéro 2. Supposons qu'un carton de ce jeu soit encore composé de deux grilles : l'une de. »