Grand Oral : récursivité et récurrence (maths/ NSI)

« Que faut-il revoir dans le sujet 2 ? La question posée, rajouter du concret au sujet La façon d’aborder les 2 notions Eviter le côté démonstration [INTRODUCTION] Bonjour à tous ! Je m'appelle Paul et aujourd'hui, je vais vous parler de deux concepts clés en programmation et en mathématiques : la récursivité et la récurrence. [ACCROCHE] Imaginez-vous plongés dans le monde fascinant de l'intelligence artificielle, où des machines peuvent apprendre à jouer aux échecs ou à conduire des voitures autonomes.

Savez-vous que ces incroyables réalisations reposent en partie sur la récursivité ? Eh oui, ce concept simple mais puissant est l'un des piliers qui permet à ces technologies de réaliser des prouesses. [LA RÉCURSIVITÉ EN PROGRAMMATION] Commençons par la récursivité en programmation.

Je connais deux façons principales de programmer un algorithme, la façon itérative, de gauche à droite, de haut en bas, comme un livre lu par un ordinateur mais il y a aussi la récursivité, c’est une technique où une fonction s'appelle elle-même pour résoudre un problème.

C'est un peu comme une poupée russe qui contient une autre poupée plus petite à l'intérieur, et ainsi de suite.

(Montrer les deux cas sur le support) [PASSONS AUX EXEMPLES CONCRETS] Voyons maintenant comment la récursivité peut être utilisée pour résoudre des problèmes concrets. Prenons par exemple le calcul du nombre de chemins possibles dans un labyrinthe.

Au lieu de chercher une solution compliquée, nous pouvons diviser ce problème en sous-problèmes plus petits et les résoudre de manière récursive.

C'est comme si nous suivions chaque chemin possible à partir d'un point donné jusqu'à atteindre la sortie. [UTILISATIONS DE LA RÉCURSIVITÉ] La récursivité trouve de nombreuses applications en programmation.

Elle est utilisée pour parcourir des structures de données complexes, comme les arbres ou les graphes. Pensez à une arborescence de dossiers sur votre ordinateur, où chaque dossier peut contenir d'autres dossiers, et ainsi de suite.

La récursivité nous permet d'explorer ces structures de manière simple et efficace. La récursivité est également utilisée dans des algorithmes de tri, tels que le tri rapide ou le tri fusion.

Ces algorithmes divisent récursivement un gros problème de tri en sous-problèmes plus petits, les trient individuellement, puis les combinent pour obtenir une solution triée. [LA RÉCURRENCE MATHÉMATIQUE] Maintenant, passons à la récurrence mathématique.

La récurrence mathématique est une méthode formelle pour prouver la validité d'une proposition sur les entiers naturels.

En d'autres termes, c'est une façon de montrer qu'une relation entre un problème et ses sous-problèmes est vraie. Pour vous expliquer cela de manière simple et concrète, prenons l'exemple de la croissance d'une plante.

Supposons que nous voulions prouver que la hauteur de la plante après n jours est donnée par une formule récurrente : la hauteur au jour n est.... »