grand oral: qu'est ce le paradoxe du duc de Toscane? et quelle méthodes permet de le résoudre

« Au début du XVIIème siècle le grand-duc de Toscane Cosme II de Médicis va donner naissance a un paradoxe qui est devenu célèbre dans le monde des mathématique.

Ce personnage étant féru de jeux en tout genre qui anime les courses italiennes et qui a eu l’occasion de jouer à maintes reprise à des jeux impliquant la somme de valeurs de plusieurs dès il remarque un comportement étrange sur ces derniers, d’après ses observations dans les jeux nécessitant d’additionner les points de 3 dès cubiques à six faces la valeur dix serait obtenus plus souvent que le chiffre neuf pourtant cela le titille car son intuition lui dit que ces deux valeurs doivent sortir aussi souvent l’une que l’autre pour essayer de comprendre ce problème il décide donc de décomposer les valeurs de chaque dés pouvant aboutir à la somme souhaité . Il entreprend donc de décomposer ses deux hommes par rapport au nombre de point sur chaque face, après un rapide calcul il en déduit qu’il existe six façons différentes d’obtenir une somme de 9 De même pour une somme égale à 10 qui peut également être obtenue de six façons différentes c’est décomposition le renforce alors dans sa certitude qu’il ne devrait pas avoir de différence entre la probabilités d’obtenir un neuf ou un 10 pourtant il n’arrive pas à expliquer pourquoi il observe au cours des parties de jeu que la somme de 10 est obtenue plus fréquemment que la somme 9 n’arrivant pas à concilier ses observations avec son intuition il décide donc alors d’aller poser la question aux grand mathématiciens de la cour Galileo Galilei il lui expose alors la problématique et lui demande s’il a une idée sur la question et si ce sont ces observations qui sont biaisés ou son intuition et bien entendu Galileo en tant que grand scientifique de la cour esprit éveillé n’a strictement aucune idée sur la question il décide donc de ce laisser le temps d‘y réfléchir et de voir comment aborder cette question inédite et en dehors de son domaine de prédilection Pour commencer il va vérifier la façon dont le duc a décomposer les différentes somme et remarquer alors que les décomposition sont correct et qu’aucune valeur n’a été oublié mais malgré tout il semble que quelque chose cloche dans cette histoire après de longue journée de réflexion il fini par avoir une idée sur la résolution du problème une idée toute bête mais d’une efficacité redoutable pour la résolution du problème s’il les décomposition du duc sont bonne elle omettent néanmoins une part primordial du raisonnement les permutations des valeurs sur chacun des dès Pour illustrer cela nous allons considérer que nos trois dés sont différenciable par leur couleurs et allons donc prendre pour cela une dé vert un rouge et un bleu nous allons ensuite choisir un cas précis qui est une somme égale à 9 avec le tirage 5 2 2 le duc de toscane Part du principe qu'il n'existe qu'une seule façon d'obtenir 9 de cette façon mais la réflexion de Galilée lui indique qu'il existe plus d'une façon de réaliser ce tirage en effet avec nos dés de couleurs nous pouvons différencier plus facilement les tirages qui sont en réalité au nombre de 3 en utilisant cette technique des dés de 3 couleurs différentes on peut alors distinguer 25 façons différentes d'obtenir 9 avec 3 dés et 27 façons différentes d'obtenir 10 Galilée prouve ainsi que les observations du duc était bonne mais que son intuition était elle erroné techniquement ce qu'il faut savoir c'est que c'est en étudiant un problème de lancer de dés que lui avait soumis le duc de Toscane que Galilée posa les bases dans un domaine des mathématiques qui dans le siècle suivant aller prendre son essor étude des probabilités le grand-duc de Toscane n'avait pas été en mesure de résoudre ce paradoxe apparent du fait d'une trop grande simplification du. »