Grand oral QCM ‭Maths‬ ‭Quelle est la probabilité d’avoir la moyenne à un QCM en y répondant au hasard ?‬

« ‭Maths‬ ‭Quelle est la probabilité d’avoir la moyenne à un QCM en y répondant au hasard ?‬ I‭ntro‬ ‭Bonjour,je m'appelle ….

et je suis en terminale spécialité Mathématiques physique‬ ‭chimie.J’ai été amené à passer le concour avenir, un concours pour les écoles d’ingénieur‬ ‭post bac.Ce concours comporte 3 épreuves :une de maths,une de sciences et une‬ ‭d’Anglais.Ces épreuves sont des QCM.‬ I‭l est de tradition en France de regarder le QCM avec une certaine méfiance..Il est en effet‬ ‭difficile de savoir si la réponse du candidat à fait l’objet d’un raisonnement rigoureux ou tout‬ ‭simplement le fruit du hasard.‬ ‭ ux Etats unis,la vision n’est pas la même et l’accès aux universités les plus prestigieuses‬ A ‭est d'ailleurs conditionné par la réussite par des QCM standardisés comme le ACT et le SAT‬ ‭ es QCM présentent divers intérêts dont la facilité de mise en place et de correction qui‬ L ‭permet un gain de temps important,point non négligeable pour des concours à grandes‬ ‭échelles comme le SAT passé chaque année par près de 2 millions d’américains.‬ ‭ ais alors peut on considérer les QCM comme un système d'évaluation rendant bien‬ M ‭compte du niveau de l'élève? Pour y répondre je vais prendre l’exemple d’un QCM de 10‬ ‭questions qui sera notre QCM de référence dont je vais calculer la probabilité d’avoir une‬ ‭note supérieure ou égale à la moyenne,avant de modifier certains paramètres pour pouvoir‬ ‭déterminer quel méthode est la plus efficace pour lutter contre les stratégies de réponses au‬ ‭hasard.‬ ‭ renons d’accord le cas d’un QCM de 10 questions auxquelles il faudrait répondre soit par‬ P ‭vrai ,soit par faux.On accorde 1 point pour chaque bonne réponse ,0 pour une absence de‬ ‭réponse ou une réponse fausse.‬ ‭On répond à toutes les questions de façon aléatoire,la réponse à une question n’impactant‬ ‭pas la réponse à une autre‬ ‭Chaque réponse est donc une expérience aléatoire à 2 issues‬ ‭On note S le succès “obtenir la bonne réponse à une questions”‬ ‭1‬ ‭On a donc P(S)=‬‭2‬ ‭Chaque question peut être associé à une épreuve de Bernoulli‬ I‭l y a 10 questions donc l’épreuve de Bernoulli est répété 10 fois de manière indépendante‬ ‭On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de succès.X suit une loi binomiale de‬ ‭1‬ ‭paramètres n=10 et p=‬‭2‬ ‭ our ce QCM il faut avoir la réponse à au moins 5 questions pour avoir la moyenne‬ P ‭On va donc calculer P(X≥5)‬ ‭P(X≥5)=P(X=5)+P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)‬ ‭P(X≥5)=1-P(X≤4)‬ ‭P(X≥5)≈ 0.6230‬ ‭En répondant au hasard à ce QCM la probabilité d’avoir la moyenne est donc d’environ‬ ‭62.3%‬ ‭Ce résultat est relativement élevé et semble justifier la méfiance que l’on peut avoir envers‬ ‭les QCM.Le vrai/faux met ainsi presque à égalité l'élève qui répond au hasard et le candidat‬ ‭moyen qui ne répond qu’aux questions dont il connaît la réponse.‬ ‭ a première méthode que l’on va étudier consiste à augmenter le nombre de questions.Ainsi‬ L ‭,si l’on refait le même QCM mais avec cette fois ci 20 questions on a 58.81% de chances‬ ‭d’avoir la moyenne.On constate un très légère baisse mais la probabilité reste cependant‬ ‭importante et est seulement 1.05 fois plus faible que le QCM précédent.‬ ‭ n effet ,X suit une loi binomiale donc E(X)=n*p=10*0.5=5‬ E ‭En répondant un grand nombre de fois à ces 10 questions,on peut espérer obtenir en‬ ‭moyenne 5 bonnes réponses‬ ‭ ne autre méthode consiste à augmenter le nombre de propositions à chaque‬ U ‭question.Reprenons le cas d’un QCM de 10 questions mais en proposant cette fois ci 4‬ ‭réponses à chaque fois.La variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètre n=10 et‬ ‭p=¼‬ ‭ a probabilité est alors de 7.81%,Ce qui est 8 fois plus petit que pour un QCM avec 2‬ L ‭propositions.Lorsque l’on choisit 5 propositions pour chaque questions ,la probabilité d’avoir‬ ‭la moyenne descend à 3.28% ce qui est 19 fois plus petit que pour le QCM à 2 propositions‬ ‭ nfin la dernière méthode consiste à pénaliser l'élève pour toute mauvaises‬ E ‭réponse,l’obligeant ainsi à ne répondre qu’aux questions dont il est certain d’avoir la‬ ‭réponse.C’est cette méthode qui est utilisé lors de la plupart des concours‬ ‭sélectifs(médecine, ,SAT)‬ ‭ ’est également le cas pour le concours avenir que j’ai passé.Lors de ce concours ,chaque‬ C ‭bonne réponse est gratifiée de 3 points ,une mauvaise entraîne le retrait d’un point et‬ ‭l’absence de réponse n'enlève pas de points.‬ ‭On va tout d’abord déterminer le nombre de bonnes et de mauvaises réponses à avoir pour‬ ‭obtenir la moyenne.Le nombre maximal de points que l’on peut espérer avoir est de‬ ‭10*3=30.Il faut donc 15 points pour avoir la moyenne.‬ ‭On note x le nombre de bonnes réponses et y le nombre de mauvaises réponses‬ ‭ n peut alors poser deux équations x+y=10 et 3x-y=15 et par la.... »