Grand oral Monty Hall

« Introduction Bonjour à tous, Aujourd'hui, nous allons explorer comment les mathématiques peuvent expliquer certains paradoxes fascinants.

Nous examinerons deux paradoxes célèbres : le paradoxe de Monty Hall et le paradoxe des anniversaires.

Ces paradoxes mettent en lumière comment nos intuitions peuvent être trompées par la réalité mathématique.

La problématique que nous allons aborder est : Comment les mathématiques permettent-elles d'expliquer certains paradoxes ? 1.

Le Paradoxe de Monty Hall Description : Le paradoxe de Monty Hall est basé sur le jeu télévisé américain "Let's Make a Deal", animé par Monty Hall.

Imaginons que vous êtes un participant dans ce jeu.

Vous êtes devant trois portes.

Derrière l'une de ces portes se trouve une voiture, le prix que vous souhaitez gagner, et derrière les deux autres, des chèvres. Le jeu : 1.

Vous choisissez une porte, disons la porte 1. 2.

L'animateur, Monty Hall, qui sait ce qui se trouve derrière chaque porte, ouvre une des deux autres portes (disons la porte 3) pour révéler une chèvre. 3.

Maintenant, Monty vous offre une option : changer votre choix initial pour la porte 2 ou rester avec votre choix initial, la porte 1. Question : Le joueur devrait-il changer de porte ? Analyse Intuitive : Beaucoup de gens pensent que, après que Monty a révélé une chèvre, les chances de gagner la voiture en changeant ou en restant sont de 50-50.

Cependant, c'est une intuition trompeuse. Analyse Mathématique : Les mathématiques, via la théorie des probabilités, montrent une réalité différente :   Si vous restez avec votre choix initial (porte 1), la probabilité de gagner la voiture est de 1/3. Si vous changez de porte (vers la porte 2), la probabilité de gagner la voiture est de 2/3. Explication en Détail : 1.

Initialement, vous avez trois portes, avec une probabilité de 1/3 pour que la voiture soit derrière chaque porte. 2.

Supposons que vous choisissez la porte 1.

Les probabilités sont alors : o P(Voiture derrière porte 1) = 1/3 o P(Voiture derrière porte 2 ou 3) = 2/3 3.

Monty ouvre une porte avec une chèvre, disons la porte 3.

Monty sait où se trouve la voiture et ouvre toujours une porte avec une chèvre, ce qui ne change pas la probabilité initiale mais ajoute une information supplémentaire. 4.

Maintenant, les probabilités changent car Monty a éliminé une option.

La porte restante non choisie (porte 2) a maintenant toute la probabilité initiale de 2/3. Pour mieux comprendre, imaginons plusieurs répétitions du jeu :   Si vous restez avec votre choix initial, vous gagnez uniquement si votre premier choix était correct (1/3 des cas). Si vous changez de porte, vous gagnez si votre premier choix était incorrect (2/3 des cas). Pour illustrer davantage, faisons une simulation simple :   Imaginez que vous jouez 300 fois.

Si vous gardez toujours votre choix initial, vous gagnez environ 100 fois (1/3 de 300). Si vous changez toujours de porte, vous gagnez environ 200 fois (2/3 de 300). Ainsi, changer de porte double les chances de gagner.

Les mathématiques de la probabilité conditionnelle et de la théorie des jeux expliquent ce paradoxe et montrent pourquoi changer de porte est la meilleure stratégie. 2.

Le Paradoxe des Anniversaires Description : Le paradoxe des anniversaires est un problème de probabilité qui montre à quel point il est probable que, dans un groupe de personnes, deux d'entre elles aient le même anniversaire.

Intuitivement, on pourrait penser qu'il faut un grand groupe pour qu'il y ait une telle coïncidence, mais la réalité mathématique est surprenante. Question : Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 23 personnes, deux personnes.... »