GRAND ORAL MATHS Question : Etude de la fiabilité des tests : Quelle est la probabilité d’avoir un faux positif ou un faux négatif ?

« lOMoARcPSD|26854740 lOMoARcPSD|26854740 GRAND ORAL MATHS Question : Etude de la fiabilité des tests : Quelle est la probabilité d’avoir un faux positif ou un faux négatif ? Nous avons beaucoup entendu parler de tests dans le contexte épidémique que nous traversons et en particulier de « faux positifs » et de « faux négatifs ».

Que penser du résultat d’un test ? Le sujet de mon exposé est donc d’actualité, mais le raisonnement est valable pour n’importe quel type de tests.

Je vais donc l’appliquer au domaine de la médecine qui me tient particulièrement à cœur. Je vais m’intéresser aux TROD qui sont des tests rapides d’orientation diagnostiques des angines et qui permettent de vérifier l’origine virale ou bactérienne d’une angine en quelques minutes, grâce à un prélèvement de gorge réalisé par un médecin.

Ils permettent donc de décider si la prescription d’antibiotiques s’avère nécessaire.

qui est un test réalisé par un médecin ou un pharmacien pour le dépistage des angines. Quelle fiabilité peut-on accorder aux tests et quelle est la probabilité d’obtenir un faux positif ou faux négatif ? Nous verrons donc dans un premier temps, ce qu’on qualifie de faux positifs ou faux négatifs puis comment calculer la probabilité d’en faire partie et enfin, nous étudierons au travers d’un exemple concret l’utilité d’autres probabilités et la fiabilité de l’autotest. I- « Faux positifs » / « faux négatifs » : En général un test est rarement fiable à 100% sauf dans le cas d’une prise de sang.

Il existe donc des tests qui présentent des avantages car ils sont plus rapides et moins coûteux, mais sont bien moins fiables, c’est-à-dire que l’on trouve davantage de faux positifs et de faux négatifs. On appelle « un faux positif » un test dont le résultat est positif alors que la personne testée n’est pas allergique, et réciproquement pour le « faux négatif ». Je me suis intéressée au Streptotest un test permettant de dépister une angine d’origine bactérienne. Ce test aurait une fiabilité de 80% d’après sa notice, c’est à dire : si le patient a une angine d’origine bactérienne, le test a 80% de chance d’être positif et donc il a 20% de chance d’être négatif.

Nous prendrons les mêmes chiffres pour modéliser la situation. II- Calculer un faux positif/ faux négatif » : On peut schématiser la situation par ce que l’on appelle un arbre pondéré : D’un point de vue notations, on notera les évènements T l’évènement « être positif au dépistage » et T¯ « être négatif au dépistage » et G l’évènement « avoir une angine d’origine bactérienne » et G¯ l’évènement « avoir une angine d’origine virale ».

On estime à environ 15% le pourcentage d’angine d’origine bactérienne.

(données gouvernementales). ARBRE PONDERE La formule des probabilités conditionnelles : 1) La probabilité d’un faux positif (être positif et ne pas avoir une angine d’origine bactérienne) est notée : lOMoARcPSD|26854740 P(T∩G¯) = P(T/G¯) × P(G¯) La formule se lit donc « la probabilité d’être positif ET de ne pas avoir d’angine d’origine bactérienne est le produit de la probabilité de ne pas avoir une angine d’origine virale multiplié par la probabilité d’être positif sachant qu’on a une angine d’origine bactérienne ’être non allergique ET positif est le produit de la probabilité de ne pas être allergique multiplié par la probabilité d’être positif SACHANT qu’on n’est pas allergique ». Ainsi on en déduit les probabilités d’un faux négatif et d’un faux positif.

Dans mon exemple, on a : Faux positif : P(T∩G¯) = 0,85 × 0,2= 0,17 soit 17%. 2) De même, on calcule la probabilité d’obtenir un faux négatif : Elle est notée P(T¯∩G) =P(T¯/G) × P(G). P(T¯∩G) =0,15× 0,2=0,03 soit 3%. On remarque qu’il y a beaucoup plus de chance d’être un faux positif qu’un faux négatif ce qui confirme ce qu’on pouvait envisager étant donné de la grande fiabilité du test. III-Autres probabilités : 1) On pourrait aussi, à partir de ces résultats calculer d’autres probabilités très intéressantes comme celle d’avoir un test positif quel que soit l’individu testé (allergique ou pas): Le calcul de cette probabilité repose sur la formule des probabilités totales qui fait intervenir le système complet d’évènements être allergique ou pas. P(T)=P(T∩G) + P(T∩G¯), où G¯ est l’évènement contraire de G, c’est à dire « né pas avoir une angine d’origine virale ». On a donc P(T)= P(G) × P(T/G) + P(G¯) × P(T/G¯)  justifier la partition P(T) = 0,03 × 0,95+0,97 × 0,05 =0,077 soit 7,7%.

Cela veut dire que, si on prend une personne au hasard dans la population et qu’on la.... »