grand oral maths Problematique: L’infini en mathématiques : de Cantor à la conjecture de Riemann

« Introduction: - Notion d'infini Travaux de Cantor Problematique: L’infini en mathématiques : de Cantor à la conjecture de Riemann Partie 1 : L’héritage de Georg Cantor Biographie et contributions de Georg Cantor à la théorie des ensembles et à l’infini. La notion de cardinalité : comment Cantor a défini les ensembles infinis dénombrables et non dénombrables. La démonstration surprenante que l’ensemble des nombres réels est de cardinalité supérieure à l’ensemble des nombres naturels. Les paradoxes de l’infini : discussion des paradoxes de Cantor et de l’antinomie de Russell, qui ont remis en question les fondements des mathématiques. Partie 2 : L’infini dans les différentes branches des mathématiques L’infini en analyse : introduction à la notion de limite infinie, les séries infinies et les développements asymptotiques. L’infini en géométrie : les figures infiniment complexes telles que les fractales et leurs propriétés étonnantes. L’infini en théorie des nombres : les nombres premiers et la distribution des nombres premiers, en lien avec la conjecture de Riemann. Partie 3 : La conjecture de Riemann Présentation de la conjecture de Riemann : son énoncé et son importance dans la théorie des nombres. Histoire et état actuel des recherches sur la conjecture de Riemann. L’importance de la conjecture de Riemann pour d’autres domaines des mathématiques et de la physique, tels que la cryptographie et la théorie des cordes. Introduction : Mesdames et Messieurs, membres aujourd’hui mon grand oral sur L’infini en mathématiques : de plongeant dans les profondeurs qui a tourmenté et fasciné les siècles. du jury, je suis honoré de vous présenter un sujet aussi captivant que mystérieux : « Cantor à la conjecture de Riemann ».

En de l’infini, nous explorerons un concept esprits des mathématiciens depuis des L’infini, souvent associé à l’idée d’illimité et de sans fin, est un concept complexe, bien plus que le simple fait d’être un nombre énorme.

Il échappe souvent à notre intuition, nous confrontant à des paradoxes énigmatiques et des questions fondamentales sur la nature de la réalité mathématique. Pour comprendre l’infini en mathématiques, nous débuterons notre voyage par l’héritage laissé par le brillant Georg Cantor.

Ce mathématicien visionnaire, au XIXe siècle, a jeté les bases de la théorie des ensembles et a apporté une compréhension révolutionnaire de l’infini.

Sa notion de cardinalité et sa distinction entre ensembles dénombrables et non dénombrables ont ouvert la voie à de nouvelles perspectives sur l’infini. Dans un deuxième temps, nous explorerons comment l’infini trouve sa place dans différentes branches des mathématiques.

En analyse, nous étudierons les limites infinies et les séries infinies, tandis qu’en géométrie, nous plongerons dans l’univers intrigant des fractales, ces figures infiniment complexes à la structure auto-similaire. Enfin, nous nous confronterons à l’un des problèmes les plus célèbres et énigmatiques de la théorie des nombres : la conjecture de Riemann.

Cette question fondamentale, formulée par Bernhard Riemann en 1859, porte sur les zéros de la fonction zêta de Riemann et est intimement liée à la distribution des nombres premiers.

Sa résolution aurait des répercussions profondes dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. Au cours de ce grand oral, nous serons amenés à contempler des concepts qui dépassent notre imagination et à questionner la nature de l’infini lui-même.

L’infini, bien qu’insaisissable, reste une source inépuisable de découvertes et d’inspiration pour les mathématiciens, qui repoussent sans cesse les frontières de la connaissance. Sans plus attendre, permettez-moi de vous emmener dans ce voyage fascinant à travers l’infini en mathématiques, en espérant que cette exploration éveillera votre curiosité et stimulera votre intérêt pour cette discipline captivante. Partie 1 : L’héritage de Georg Cantor 1.

Biographie et contributions de Georg Cantor Georg Cantor, né en 1845 à Saint-Pétersbourg (Russie) et décédé en 1918 à Halle (Allemagne), fut un mathématicien visionnaire dont les travaux ont profondément marqué le paysage mathématique du XIXe siècle.

Il est surtout connu pour sa théorie novatrice des ensembles et sa compréhension révolutionnaire de l’infini. Issu d’une famille aisée, Cantor commença très tôt à montrer des aptitudes pour les mathématiques et poursuivit ses études à l’université de Berlin. Ses premiers travaux portèrent sur les séries trigonométriques, mais c’est dans le domaine des ensembles infinis que Cantor fit ses plus grandes découvertes. 2.

La notion de cardinalité Cantor s’est attaqué à la question de comparer la taille de différents ensembles infinis.

Il introduisit la notion de cardinalité, qui mesure le nombre d’éléments d’un ensemble donné.

Deux ensembles ont la même cardinalité s’il est possible d’établir une correspondance bijective entre leurs éléments. 3. Les ensembles dénombrables et non dénombrables Cantor démontra que certains ensembles infinis pouvaient être mis en correspondance bijective avec l’ensemble des nombres naturels (1, 2, 3, …).

Ces ensembles infinis sont appelés dénombrables, et le plus célèbre d’entre eux est l’ensemble des entiers naturels (Z) lui-même.

En revanche, il découvrit que l’ensemble des nombres réels (R) n’était pas dénombrable, ou autrement dit, il n’existait aucune correspondance bijective entre les réels et les entiers naturels. 4.

La diagonale de Cantor Pour prouver que l’ensemble des réels est de cardinalité supérieure à celle des entiers naturels, Cantor utilisa un argument ingénieux connu sous le nom de « diagonale de Cantor ».

En partant de l’hypothèse contraire, c’est-à-dire qu’il existerait une liste exhaustive de tous les réels, Cantor construisit un nombre réel qui n’appartenait pas à cette liste en utilisant une méthode de « diagonalisation ».

Ainsi, il démontra l’existence de réels qui ne pouvaient pas être énumérés, prouvant ainsi l’existence de « niveaux d’infini » différents. 5.

Les paradoxes de l’infini Les travaux de Cantor sur l’infini ont également soulevé des paradoxes troublants dans les fondements des mathématiques.

Le plus célèbre de ces paradoxes est l’antinomie de Russell, qui remet en question l’idée même d’un « ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes ». En réponse à ces paradoxes, des mathématiciens tels que Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont cherché à établir des bases logiques plus rigoureuses pour les mathématiques, ce qui a conduit au développement de la théorie des ensembles axiomatique et à une meilleure compréhension des fondements de la discipline. Conclusion : Georg Cantor a laissé un héritage durable dans les mathématiques avec ses.... »