grand oral maths paradoxe de saint petersbourg

« Pendant la pandémie, Georges s’est trouvé un nouveau passe-temps: il joue de l’argent virtuel dans des casinos en ligne.

Il en profite pour faire quelques calculs à l’occasion afin de déterminer à quel point le casino propose des jeux qui lui sont favorables.

Dans le cas d’un jeu étrange de pile ou face qui pourrait s’étirer à l’infini, Georges est toutefois médusé.

Pour trancher son dilemme, il devra en fait résoudre le paradoxe de Saint-Pétersbourg.

Pile ou face à l’infini Considérons l’un des jeux de hasard les plus simples : pile ou face.

Si Georges mise 1 $ sur pile, alors il gagnera 1 $ supplémentaire si la pièce tombe sur pile, mais perdra 1 $ si on obtient plutôt face.

Notons P le montant que le croupier remet à Georges à la fin du jeu.

En pratique, soit Georges gagneun dollar de plus (P=2), soit il perd sa mise (P=0).

En moyenne, ces valeurs sont pondérées par les probabilités de chaque événement, et on appelle cette valeur l’espérance de P notée par:E(P)=2*1/2+0*1/2=1Comme le montant moyen remis par le croupier est égal à la mise de Georges, ni le casino, ni Georges ne sont favorisés.

En effet, la moyenne que le casino verse à même ses fonds lors de chaque jeu est 0 $ et le gain moyen de Georges, en sus de sa mise, est nul.

Lamise de 1 $ est le montant « juste » pour jouer à ce jeu.

Évidemment, tous les vrais casinos s’assurent que l’espérance joue en leur faveur, par exemple en demandant plus de 1$ pour ce pari, ce qui leur garantit de faire des profits à long terme. Georges s’intéresse à une variante intrigante du jeu.

La même pièce est lancée, mais jusqu’à l’obtention du premier pile.

Si on obtient pile au premier lancer, le joueur reçoit 2 $ du croupier, comme précédemment. Si on obtient face, puis pile, le joueur reçoit alors 4 $.

Avec deux faces puis un pile, il reçoit 8 $.

De façon générale, on note X le nombre de lancers de la pièce de monnaie qui furent nécessaires afin d’obtenir le premier pile.

Le montant remis, que l’on note Y, est alors égal à 2x .

Pour ce jeu, quel serait le montant juste que Georges pourrait miser? Comme précédemment, il serait pertinent de calculer la valeur espérée du montant remis à Georges.

On a une chance sur deux d’avoir pile en partant.

La probabilité d’obtenir face, puis pile, est de: 1/2*1/2=1/4 De façon générale, la probabilité d’obtenir le premier pile au xième lancer est de : 1/(2^x) Ainsi, l’espérance de l’argent remis par le croupier est maintenant: E(Y)=2*1/2+4*1/4+8*1/8+...=1+1+1+... une somme qui diverge clairement vers l’infini! Georges devra-t-il miser un montant infini d’argent pour participer à un tel jeu? Étant donné ce résultat mathématique, il serait nécessaire de disposer d’un temps infini et de réserves monétaires infinies de la part du casino, ce qui est paradoxal compte tenu de la limite de notre temps et la finitude de nos moyens.

D’ailleurs, il est assez improbable que le jeu dure très longtemps.

Regardons la probabilité de parties courtes: P(X0,\ P\left(\left|\frac{S_n}{e_n}-1\right|>ε\right)→0\ lorsque\ n→infini Le Tableau 3 donne une indication de la mise requise pour chaque partie, selon le nombre de parties jouées de manière consécutive.

Évidemment, il est peu probable de trouver un casino solvable et suffisamment déraisonnable pour se lancer dans de tels paris! L’argent n’a pas la même valeur pour tous Un lot de 100 000$ fait rêver la plupart des gens, mais pour les milliardaires, il en va autrement.

Dans les approches précédentes, la valeur de l’argent était la même pour le casino et le joueur, mais en pratique, le capital n’a pas la même utilité pour tous.

En laissant de côté les bénéfices possibles générés pour le casino, peut-on mesurer l’importance des gains possibles du point de vue du joueur?Suivant la pensée de Daniel Bernoulli, si le capital c s’accroît par dc, alors l’accroissement de l’utilité est inversement.... »