grand oral maths modèle malthusien

« Avec le réchauffement climatique de nombreux écosystèmes sont impactés, leur dynamique change et cela entraîne des variations d'effectif de population.

Si nous nous concentrons sur les mers et les océans, nous pouvons observer l'accroissement démographique des baleines boréales par exemple.

L'accroissement démographique est donc l'augmentation de l'effectif d'une population au cours d'une période donnée.

Or, nous avons tendance à rapprocher ce phénomène de la sociologie ou encore des sciences de la vie sans savoir qu'il peut également être vu à travers le prisme des mathématiques, notamment avec des modèles.

Ce n'est autre que la traduction d'une observation à laquelle nous appliquons des outils, des techniques ainsi que des théories mathématiques.

Le processus inverse est aussi utilisé pour élaborer des modèles, c'est donc la traduction des résultats obtenus conformément à des prédictions dictées par une théorie par exemple. Nous pouvons donc nous demander de quelle manière l'accroissement démographique des baleines boréales est traduit par les modèles de Malthus et de Verhulst. Dans un premier temps nous allons faire un petit aparté sur l'histoire de ces modèles et de leurs auteurs.Puis, nous verrons en quoi consisté chaque modèle.

Pour finir par l'application de ces modèles à l'espèce de la baleine boréale. ■ Tout commence en 1798, le révérend Thomas Robert Malthus formule pour la première fois son "principe de population" dans son Essai sur le principe de population.

Ce principe dit que " Si elle n'est pas freinée, la population s'accroît en progression géométrique.

Les substances ne s'accroissent qu'en progression arithmétique."Autrement dit, les populations ont une croissance exponentielle, tandis que les apports en nourritures ne suivent pas forcément les besoins grandissants de cette population.Cet économiste anglais a étudié à Cambridge Jesus Collège, à la fin du 18ème siècle.

Sa carrière académique lui a permis d'influencer les idées économiques de son temps, notamment en les enrichissant grâce au modèle malthusien, que nous détaillerons peu après.

Pour autant, l'échec de Malthus à prédire la révolution industrielle était une critique fréquente de ses théories. Pierre Verhulst est quant à lui un mathématicien belge du 19ème siècle.

Il vient à s'intéresser à la démographie grâce à l'intervention de son maître à penser, Quetelet, un astronome et mathématicien belge.

Ainsi, près de 50 ans après la parution de l'essai de malthusien, Pierre François Verhulst reprend les travaux de son prédécesseur anglais en essayant de les nuancer.

Pour ce faire, il y ajoute un paramètre essentiel, l'interaction des populations avec leur environement. Il est maintenant temps de se pencher sur ces deux modèles mathématiques et de découvrir leurs spécificités. D'un côté, nous avons donc le modèle malthusien, qui n'est autre qu' une croissance exponentielle basée sur l'idée que la fonction est proportionnelle à la vitesse à laquelle la fonction croît.

Il prend la forme d'un équation différentiel du premier ordre. Support 1 où P0 = P (0) est la taille initiale de la population, r= le taux de croissance de la population t = temps. Ce modèle est souvent appelé loi exponentielle ou loi malthusienne.

II est largement considéré dans le domaine de l'écologie des populations comme le premier principe de la dynamique des populations, avec Malthus comme fondateur.

Ce modèle mathématiques peut être traduit par toutes les formes de vie, y compris les humains, ont une croissance démographique exponentielle lorsque les ressources sont abondantes, mais que la croissance réelle est limitée par les ressources disponibles. C'est alors que Verhulst entre en scène en 1938 et trois articles qui expliquent et détaillent la croissance logistique.

Cette croissance est traduite par une fonction logistique autrement dit une fonction modélisée par une courbe en forme de S,aussi appelée courbe sigmoïde.

Or nous pouvons la simplifier.

Elle devient alors une fonction affine de la forme ax+b qui exprime la différence entre le taux de natalité et le taux de mortalité..... »