Grand Oral Maths : Les maths et le sport

« Les maths dans le sport 1) Introduction Aujourd'hui, je souhaite aborder un sujet qui pourrait sembler inattendu à première vue, mais qui révèle en réalité une convergence fascinante entre deux domaines apparemment éloignés : les mathématiques et le sport.

En effet, derrière chaque performance sportive, se cachent des calculs et des analyses mathématiques souvent méconnus, mais pourtant essentiels.

Nous allons explorer ensemble comment les mathématiques deviennent un outil précieux pour les athlètes, et les entraineurs, contribuant ainsi à repousser les limites de la performance humaine sans cesse et à transformer le sport en un véritable laboratoire d'expérimentation mathématique. Alors, préparez-vous à plonger dans ce monde où les équations deviennent les règles du jeu, où les graphiques tracent la voie de la victoire et où les calculs déterminent les champions. 2) Les Maths dans l’athlétisme : Calcul de la vitesse instantanée avec la dérivée 1.

Position en fonction du temps : Supposons que la position 𝑥(𝑡)x(t) d'un coureur est donnée par 𝑥(𝑡)=𝑡2+2𝑡x(t)=t2+2t, où 𝑥x est en mètres et 𝑡t en secondes. 2.

Dérivée pour trouver la vitesse instantanée : La vitesse instantanée 𝑣(𝑡)v(t) est la dérivée de 𝑥(𝑡)x(t) par rapport au temps 𝑡t : 𝑣(𝑡)=𝑑𝑑𝑡(𝑡2+2𝑡)=2𝑡+2v(t)=dtd(t2+2t)=2t+2 Par exemple, à 𝑡=3t=3 secondes, la vitesse instantanée est : 𝑣(3)=2(3)+2=6+2=8m/sv(3)=2(3)+2=6+2=8m/s Calcul de la distance parcourue avec l'intégrale 1.

Vitesse en fonction du temps : Supposons que la vitesse 𝑣(𝑡)v(t) d'un coureur est donnée par 𝑣(𝑡)=3𝑡v(t)=3t, où 𝑣v est en mètres par seconde et 𝑡t en secondes. 2.

Intégrale pour trouver la distance parcourue : La distance 𝑥(𝑡)x(t) parcourue entre deux temps 𝑡1t1 et 𝑡2t2 est l'intégrale de la vitesse sur cet intervalle : 𝑥(𝑡)=∫𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑑𝑡=∫𝑡1𝑡23𝑡𝑑𝑡x(t)=∫t1t2v(t)dt=∫t1t23tdt Calculons cette intégrale entre 𝑡=0t=0 et 𝑡=2t=2 secondes : 𝑥(𝑡)=∫023𝑡𝑑𝑡=3∫02𝑡𝑑𝑡=3[𝑡22]02=3(222−022)=3(42)=3×2=6meˋtre sx(t)=∫023tdt=3∫02tdt=3[2t2]02=3(222−202)=3(24)=3×2=6meˋtres Calcul de la vitesse moyenne avec l'intégrale 1.

Vitesse moyenne : La vitesse moyenne [𝑡1,𝑡2][t1,t2] est définie comme : 𝑣moyvmoy sur un intervalle 𝑣moy=1𝑡2−𝑡1∫𝑡1𝑡2𝑣(𝑡)𝑑𝑡vmoy=t2−t11∫t1t2v(t)dt Prenons l'exemple précédent où 𝑣(𝑡)=3𝑡v(t)=3t et calculons la vitesse moyenne entre 𝑡=0t=0 et 𝑡=2t=2 secondes : 𝑣moy=12−0∫023𝑡𝑑𝑡=12×6=3m/svmoy=2−01∫023tdt=21×6=3m/s - Calcul de rayon d’une piste Pour pouvoir modéliser nos calculs, il nous faut savoir le rayon d’un stade d’athlétisme.

Cela nous permettra par exemple de savoir dans quelle couloir le coureur sera la plus avantagé. Sachant qu’une piste de 400m d’athlétisme est fait de la façon suivante : il y a deux lignes droites parallèles faisant chacun 80m.

Les deux virages de la pistes, formé deux à deux, peuvent être comparé à un cercle.

Donc un virage est la moitié d’un cercle. Comme chaque ligne droite fait 80m, la longueur des deux virages est 240m.

Chaque virage est un demi-cercle, donc les deux ensembles forment un cercle.

En 3 utilisant la relation entre rayon et longueur d'un cercle, on trouve : R = 240 /2π ≈ 38.2m.

Soit V la longueur en mètres d'un virage.

On peut la calculer en fonction de L : V = (400 − 2L) /2.

On trouve le rayon en divisant V par π : R = (400 − 2L) / 2π - Dans l'épreuve de 400m, les coureurs partent décalés pour que chacun court la même distance. Nous allons essayer de comprendre pourquoi dans l’épreuve du 400m les coureurs partent décalés. S’ils partaient alignés, le coureur se situant sur le couloir extérieur aurait plus de chemin à faire qu’un coureur se situant dans un couloir intérieur. Le stade est composé de deux lignes droites (80m) et de deux demies cercles à chaque extrémité (fournir dessin).

Celui qui cours sur le couloir intérieur (numéro 1) doit faire un tour complet pour faire exactement 400m.

Les autres coureurs ne feront pas un tour complet. La ligne d’arrivée étant.... »