Grand oral maths Le paradoxe de Monty Hall

« Le paradoxe de Monty Hall I – Introduction Le paradoxe de Monty Hall est un problème classique de probabilités inspiré du jeu télévisé américain « Let’s make a deal ».

Monty Hall donne son nom à ce paradoxe car il a présenté cette émission pendant 13 ans. J’ai choisi de vous présenter le paradoxe de Monty Hall aujourd’hui pour vous montrer l’importance des probabilités dans notre quotidien mais surtout dans des situations où l’on pourrait croire qu’elle ne serve à rien. Problématique : Comment le paradoxe de Monty Hall nous montre la différence entre intuition et probabilités grâce au mathématiques ? En effet, ce paradoxe met en avant la contre intuitivité des probabilités et invite à repenser nos prises de décisions. II – Enoncé L’énoncé du problème est le suivant : le participant se retrouve face à trois portes, numérotées de manière arbitraire, derrière l’une desquelles se trouve une voiture, le prix tant convoité.

Les deux autres portes cachent chacune une chèvre, bien moins attrayante que la voiture.

Le participant à la tâche de choisir une porte, en espérant faire le bon choix et remporter la voiture.

Après que le participant a fait son choix initial, Monty Hall intervient et ouvre une des deux portes restantes qui ne contient pas la voiture, révélant ainsi l’une des chèvres.

Crucialement, Monty sait quelles portes contiennent les chèvres et où se trouve la voiture, et il choisit délibérément de révéler une chèvre après que le participant ait fait son choix.

C’est à ce moment précis que le paradoxe prend forme : Monty Hall offre alors au participant la possibilité de changer son choix initial et de sélectionner l’autre porte non ouverte.

La question est la suivante : le participant a-t-il intérêt à rester avec son choix initial ou à changer de porte pour augmenter ses chances de remporter la voiture ? Il est essentiel de noter que, dans cette situation, Monty Hall ne choisit pas au hasard quelle porte ouvrir, mais plutôt en fonction de la décision initiale du participant.

Si le participant a choisi la porte avec la voiture dès le départ, Monty Hall choisira l’une des deux portes restantes au hasard pour révéler une chèvre.

Cependant, si le participant a choisi une porte avec une chèvre, Monty Hall n’aura pas d’autre choix que d’ouvrir la seule autre porte qui cache également une chèvre. III – Le raisonnement paradoxal 1) Intuitions initiales La première réaction intuitive de nombreuses personnes face au paradoxe est de penser que les trois portes ont des chances égales de cacher la voiture (1/3 pour chaque porte) avant que Monty Hall n’ouvre l’une des portes.

En suivant cette logique, le choix initial du participant n’aurait pas d’importance, et changer ou rester avec la même porte après que Monty a ouvert une autre porte ne devrait pas influencer les chances de gagner. 2) Les deux stratégies possibles Une fois que Monty Hall a ouvert une porte révélant une chèvre, deux portes restent fermées : la porte initialement choisie par le participant (appelons-la « Porte A ») et l’autre porte non ouverte (appelons-la « Porte B »). Stratégie 1 : Rester avec le choix initial (Porte A) : Certaines personnes croient que puisqu’elles ont initialement choisi l’une des trois portes, les chances de gagner restent les mêmes (1/3) et qu’il est donc préférable de conserver leur choix initial. Stratégie 2 : Changer de porte (aller vers Porte B) : D’autres estiment que puisque Monty Hall a ouvert une des portes pour révéler une chèvre, il ne reste plus que deux portes, et donc les chances de la voiture sont concentrées sur les deux portes restantes (1/2 pour chaque porte).

Ces personnes décident donc de changer leur choix initial pour augmenter leurs chances de gagner. 3) Démonstrations On part du principe que le candidat choisit au départ la porte A. 4) Utilisations de simulations informatiques Pour clarifier les résultats potentiels des deux stratégies, des simulations informatiques peuvent être effectuées pour modéliser le déroulement du jeu des milliers de fois.

Ces simulations montrent que la stratégie de « changer » conduit à une probabilité d’environ 2/3 de gagner la voiture, tandis que la stratégie de « rester » ne donne qu’une probabilité d’environ 1/3. 5) Résultats Il est surprenant pour beaucoup de constater que la stratégie optimale est de changer de porte, ce qui augmente considérablement les chances de gagner la voiture.

Cela va à l’encontre de l’intuition initiale, selon laquelle les chances devraient être équitablement réparties entre les deux portes restantes. La résolution du paradoxe de Monty Hall repose sur une compréhension approfondie des probabilités conditionnelles, qui montre que l’ouverture d’une porte par Monty Hall modifie les probabilités initiales.

En effet, si le participant décide de changer de porte après que Monty Hall a révélé une chèvre, les chances de gagner la voiture deviennent bien supérieures (2/3) par rapport à celles de rester avec le choix initial (1/3).

Dans la partie suivante, nous explorerons les différentes interprétations et résolutions du paradoxe de Monty Hall proposées par les mathématiciens et les philosophes. IV – Interprétations et résolutions 1) Confusions avec les probabilités conditionnelles L’une des raisons principales de la confusion autour du paradoxe est la confusion entre les probabilités a priori (probabilités avant l’intervention de Monty Hall) et les probabilités conditionnelles (probabilités après que Monty Hall a ouvert une porte).

Avant que Monty Hall n’ouvre une porte pour révéler une chèvre, les probabilités sont effectivement de 1/3 pour chaque porte.

Cependant, une fois qu’une chèvre est révélée, la probabilité conditionnelle de la porte non choisie par le participant (c’està-dire la porte B restante) cachant la voiture est de 2/3, tandis que celle de la porte initialement choisie (Porte A).... »