Grand oral Maths entre conjectures et théorèmes

« Les mathématiques existent depuis très longtemps et possèdent leur propre langage, leurs propres termes.

Pour créer des lois mathématiques, les mathématiciens partent de théories/ thèses / observations pour émettre des conjectures, qui sont des énoncés mathématiques que l’on pense vrai et probable mais qui ne sont pas encore démontrés.

On n’a pas encore réussi soit à les réfuter par un contre exemple soit les validés par une démonstration.

Une conjecture qui est démontré devient alors un théorème. PB : Les mathématiques : entre conjectures et théorèmes. Juste un petit rappel avant de continuer, dans cet oral je vais beaucoup vous parlez des nombres premiers.

Mais c’est quoi un nombre premier ? C’est un nombre qui n’est divisible que par 1 ou par lui-même comme 17 (divisible par 1 et par 17). Je vais d’abord commencé par une conjecture réfutée qui est donc fausse, c’est la conjecture de Fermat sur justement les nombres de Fermat. Conjecture de Fermat : en 1658 Pierre de Fermat émet la conjecture suivante : Tous les nombres qui s’écrivent sous la forme Fn=2^^2n +1 sont premiers pour n appartenant à grand N soit l’ensemble des nombres entiers naturels (0,1,2,3 etc )7 Il a émit cette conjecture à partir d’un certain sens logique par rapport à sa forme d’écriture, l’emmenant à penser que chaque résultat est un nombre premier.

Mais aussi grâce à ses propres calculs. F0=2^^2*0+1=3 premier F1=5 premier F2=17 premier F3=257 premier F4=65 537 premier F5=4 294 967 297 pas premier Leonhard Euler réfute cette conjecture en 1732 soit environ un siècle plus tard car il trouve que F5 est divisible par 641. Mais du coup vu que cette conjecture et fausse dès le rang 5 soit assez tôt dans les calculs, on peut se demander comment Fermat en est il arriver à l’émettre. Il a émit cette conjecture à partir d’un certain sens logique par rapport à sa forme d’écriture, l’emmenant à penser que chaque résultat est un nombre premier.

Mais aussi grâce à ses propres calculs.

Or au XVII ème siècle les méthodes calculatoires n’étaient pas assez développées donc il n’a pas pu calculer F5. Maintenant que l’on a étudié une conjecture fausse on va pouvoir s’intéresser à une conjecture valable. Une conjecture valable c’est une conjecture émise où plusieurs mathématiciens sont d’accord pour dire qu’elle est probablement vraie mais qui n’ont pas réussi à la démontrer. Conjecture de Goldbach : En 1742 , Christian Goldbach a émit un des plus vieux problèmes mathématiques non résolu. Pour tout nombre pair supérieur à 2 appartenant l’ensemble des nombres entiers naturels N est égale à la somme de 2 nombres premiers, n=2k=p1+p2 Prenons par exemple 8=3+5 ou 50=19+31 Cette conjecture a été vérifiée empiriquement ( par vérifications/par calculs) pour de nombreux nombres (d’ailleurs on est encore confronté à aucun nombre pour lequel cette conjecture n’est pas valable sinon elle aurait été réfutée) mais on n’a pas encore trouvé de démonstration générale ( élément essentiel pour qu’une conjecture soit validée et deviennent un théorème) Cette conjecture datant de 1742 serait peut-être résolu grâce aux travaux et aux nombreuses années de recherche du professeur algérien Mihoubi Douadi qui à proposé une démonstration générale.

Celle ci est en attente de validation par d’autres mathématiciens mais cette découverte pourrait avoir des répercussions dans d’autres domaines telle que la cryptographie avec le Code Césaret la sécurité informatique avec le système RSA. Cette conjecture est encore en attente pour devenir un théorème voyons maintenant plusieurs théorèmes formés à partir de conjectures. Le petit théorème de Fermat : En 1640, Pierre de Fermat a énoncé la conjecture suivante : « Si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p alors, a^^p-1 est un multiple de p. On peut l’écrire sous la forme mathématiques : Ce théorème possède des applications en arithmétique avec l’analyse de certain nombre entier en produits de facteurs premiers et en cryptographie avec le système RSA. C’est d’ailleurs à partir d’une méthode analogue que Euler a pu infirmer la conjecture.... »