Grand oral maths Dans quelles mesures une fonction et une suite permettent-elles de déterminer l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient?

« Dans quelles mesures une fonction et une suite permettent-elles de déterminer l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient? Lorsque l’on attrape une maladie, nous devons prendre des médicaments pour qu’ils nous aident à combattre cette maladie.

Il y a souvent deux protocoles pour soigner une maladie qui ressortent, dans un premier temps nous pouvons essayer de guérir par voie orale en avalant un médicament ou alors nous pouvons aussi guérir par voie intraveineuse en recevant une injection de médicaments directement dans le sang. Nous allons parler ici du prednisone 6 mg qui est un médicament utilisé pour son effet anti-inflammatoire, il est utile dans le traitement de nombreuses affections inflammatoires ou allergiques mais il peut aussi être utilisé dans le traitement de certaines maladies graves comme le cancer ou encore le rhumatisme articulaire aigu. Dans quelles mesures une fonction et une suite permettent-elles de déterminer l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient? Nous étudierons d’abord un modèle de fonction pour représenter l’évolution d’un médicament dans le corps, nous verrons ensuite quelle est la quantité maximale de médicament dans le sang, à quelle moment elle est maximale et combien de temps le médicament restera efficace puis nous verrons à l’aide d’une suite combien d’injections il faut pour atteindre la même quantité de médicaments que par voie orale. 1/ La fonction qui modélise la prise du médicament Le médecin doit savoir exactement pendant combien de temps le médicament est efficace, quelle dose il ne faut pas dépasser et quand est ce que le médicament est le plus efficace, c’est pourquoi je vais utiliser une fonction mathématiques pour illustrer mes propos. L’évolution de la quantité de ce médicament dans le temps peut être modélisé par cette fonction: f(t)=3te^-0,5t+1 avec f définie sur l’intervalle (0;10), la quantité de médicament présente dans le sang est exprimé en mg et t défini le temps exprimé en heure. Pour ce médicament, les caractéristiques sont les suivantes: -la limite supérieur (quantité maximale au-delà de laquelle apparaissent des effets toxiques) est de 30mg par jour -le seuil thérapeutique (quantité minimale en dessous de laquelle aucune efficacité du médicament n’est obtenu) est de 5mg Lors de l’ingestion du comprimé la quantité de médicament va être nulle puis au fur et à mesure du temps le médicament va être absorbé par le corps. 2/ Quand est ce que le médicament est le plus efficace, pour quelle quantité et combien de temps reste t’il efficace? Pour trouver cela j’ai dérivé ma fonction pour trouver le signe de sa dérivée et trouver ses variations.

La fonction est croissante puis décroissante et admet une solution à 2 heures qui est donc le point d’inflexion et le maximum soit une quantité de 6 mg dans le sang du patient.

Le maximum est inférieur à 30 mg donc la quantité dans le sang n’est pas toxique et le patient n’est pas en danger.

Pour trouver la durée d’efficacité j’ai utilisé le théorème des valeurs intermédiaires, la fonction est dérivable et strictement croissante sur (0;2),.... »