GRAND ORAL MATHS Comment l’application des principes mathématiques du problème de Kelvin et de la structure de Weaire-Phelan a-t-elle contribuée à la conception optimale du Water Cube ?

« GRAND ORAL MATHS Bonjour Madame, Monsieur, je suppose que vous avez chaud et envie de vous baigner en cette journée d’été je vous propose donc de vous rafraichir en abordant l’architecture particulière du centre national de natation de Pékin, le Water Cube. Si vous êtes observateur et avez regardé les Jeux olympiques de Pékin, vous avez sans doute remarqué l’architecture particulière du Centre national de natation dans lequel les épreuves de natation ont eu lieu.

Cette architecture est basée sur un jeu de modules géométriques qui sont la meilleure solution connue à un problème d’optimisation mathématique vieux de presque 150 ans ! C’est ainsi que nous nous demanderons… • Comment les problèmes de Kelvin et de Weaire-Phelan illustrent-ils les défis liés à l’optimisation des structures ? • Comment l’application des principes mathématiques du problème de Kelvin et de la structure de Weaire-Phelan a-t-elle contribuée à la conception optimale du Water Cube ? Les architectes du Water Cube n’ont pas pensé aux mathématiques dès le départ.

Ils ont plutôt cherché un concept lié à l’eau ; leur idée était donc de réaliser un bâtiment semblable à un cube rempli de bulle d’eau et, en poursuivant une recherche sur la forme des bulles dans la mousse, ils ont appris l’existence d’un objet mathématique unique découvert en 1993 comme solution au problème de Kelvin: le solide de WeairePhelan, un solide qui a la particularité de remplir l’espace tout en minimisant la surface des films qui les séparent. Après avoir évoqué la question d’un pavage avec la forme qui a le plus petit périmètre et qui permet de remplir une surface, nous aborderons la situation en 3 dimensions avec le problème de Kelvin : Comment donc remplir l’espace avec des formes, toutes de même volume, en minimisant les surfaces des films qui les séparent? Une question à laquelle certains scientifiques ont tenté de répondre grâce à de la simple mousse.

Enfin, nous évoquerons la solution que nous proposent Weaire et Phelan à ce problème qui nous met tant la tête sous l’eau. Penchons-nous d’abord, pour simplifier les choses, sur un pavage ; imaginons un contexte dans lequel, c’est décidé, vous allez refaire le carrelage de votre cuisine ! Vous vous rendez donc dans votre magasin de bricolage préféré pour examiner les différents modèles disponibles.

Il y a de tout : carrés, rectangles, hexagones, triangles, mais aussi des formes plus compliquées comme des pavages à la Escher.

Le vendeur vous précise que quel que soit le modèle, le carreau fait toujours la même surface. Comment choisir ? Pour ma part, je suis assez nul pour faire les joints.

Si vous êtes comme moi, vous allez choisir le carreau qui donne le moins de joints à faire, et c’est celui dont le périmètre est le plus petit.

Mais quelle est donc la forme géométrique qui pour une surface donnée possède le périmètre le plus petit ? La réponse est connue depuis longtemps : il s’agit du disque.

Mais vous voyez bien qu’avec des disques on ne peut pas faire un carrelage ! Il nous faut donc trouver la forme géométrique qui possède le plus petit périmètre, et qui permet de paver une surface. Là aussi la réponse est connue depuis l’antiquité : il s’agit de l’hexagone régulier. Enfin, je dis « la réponse est connue », mais en deux millénaires, personne n’avait réussi à le démontrer vraiment ! Et il a fallu attendre 1999 pour qu’une démonstration soit faite.

Un bel exemple d’une conjecture très simple qui a résisté à des générations de mathématiciens. Bref, c’est donc le carrelage avec des hexagones qui vous permet de limiter au maximum la quantité de joints. La nature fait souvent bien les choses, et c’est donc sans surprise que le pavage par des hexagones se retrouve chez nos amis les bêtes, et notamment par l’exemple bien connu des alvéoles des nids d’abeilles. De même que cette forme permet de minimiser les joints de carrelage, elle permet de limiter la quantité de cire à utiliser pour créer les alvéoles.

Le fait que le pavage hexagonal soit le meilleur est d’ailleurs maintenant connu comme le théorème du nid d’abeille. On sait que si on ne cherche pas à créer un pavage, alors la forme de plus petit périmètre est le disque.

Et si on juxtapose des disques et qu’on les déforme pour les forcer à se toucher, on obtient assez naturellement un pavage hexagonal ! (3D,LE PROBLEME DE KELVIN) Maintenant que l’on connait la forme de plus petit périmètre qui permet de remplir une surface, on peut passer à la question supérieure : Comment donc remplir l’espace avec des formes, toutes de même volume, en minimisant les surfaces des films qui les séparent ? Pensez-vous que ce soit le cube ? Non, car son volume est maximal, c’est d’ailleurs pour cela que la plupart des pièces de nos bâtiments ont cette forme, et le total des aires de ses surfaces est également très élevé.

On pourrait également penser à la sphère qui a l’aire la plus petite pour un volume donné.

Toutefois, on ne peut pas paver l’espace avec des sphères, sans vide ni chevauchement.

En d’autres mots, peu importe comment on s’y prendrait pour construire des pièces en forme de sphères, il y aurait immanquablement de l’espace inutilisé entre les murs! Le physicien britannique Lord Kelvin s’était posé cette.... »