Grand oral maths : calcul d'intégrales

« Comment les calculatrices donnent-elles la valeur approchée d’une intégrale ? Lors du cours de mathématiques consacré au calcul intégral, nous avons appris a calculer une intégrale à l’aide d’une primitive.

Notre professeur nous a également montré comment vérifier nos résultats grâce à la calculatrice.

J’ai tout d’abord pensé que l’algorithme implémenté dans les calculatrices utilisait des primitives. Je me suis alors souvenue d’une remarque de mon professeur : il existe des fonctions continues dont la primitive ne peut pas s’écrire à l’aide de fonctions usuelles, par exemple f(x)= e− x J’ai donc calculé l’intégrale de cette fonctions entre deux nombres, et la calculatrice a affiché un résultat.

Elle donne donc la valeur approchée d’une intégrale sans utiliser sa primitive. 2 Ma problématique est donc la suivante : comment les calculatrices donnent-elles la valeur approchée d’une intégrale ? Comme le montre mon document support, je rappelle que l’intégrale d’une fonction positive sur un intervalle [a;b] est l’aire du domaine délimité par la courbe représentative de cette fonction, l’axe des abscisses et les droites d’équations x=a et x=b.

Nous allons voir deux méthodes de calcul d’une intégrale, mais il en existe d’autres plus ou moins performantes. Première méthode : la somme de Riemann Il est simple de calculer l’aire d’un rectangle.

Cette méthode consiste à combler plus ou moins le domaine sous la courbe par des rectangles. Pour être plus précise, si on découpe l’intervalle [a;b] en n intervalles de même amplitude, b−a on obtient des rectangles de base n b−a En posant x i =a+i , pour 0⩽i⩽n−1 n on peut choisir f( x i ) comme hauteur des rectangles.

Vous pouvez voir sur mon document support que combler génère des erreurs d’approximation.

Cependant, plus n est grand, plus la base des rectangles est petite.

Ainsi, les zones à combler ou à retirer sont moindres, et l’approximation est meilleure. b On peut écrire que : n−1 ) pour n très grand. ∫ f (x)dx≈ b−a ∑ f (a+i b−a n n i=0 a Deuxième méthode : Monte-Carlo La méthode Monte-Carlo consiste à évaluer l’aire d’une surface de manière probabiliste. Elle a été imaginée par le physicien Nicholas Metropolis.

Le principe est de prendre un point.... »