GRAND ORAL MATHS

« L'ordre de passage est imposé.

Tant pis pour le premier, qui doit donc se lancer.

Quelle est alors sa probabilité de parvenir vivant jusqu'au bout du pont ? Pour le premier saut, il a une chance sur deux de sauter sur la plateforme fragile, et c'est la chute, échec.

Sinon, il a une chance sur deux de sauter sur la plateforme solide.

S'il choisit cette bonne plateforme, il aura à nouveau les mêmes probabilités pour la plateforme suivante : 50 % de chances de tomber et 50 % de chances de survivre.

La probabilité de survie après deux plateformes est donc 2 * 1/2 fois un demi, soit une chance sur quatre.

En poursuivant le raisonnement, on peut déterminer la probabilité de survivre aux 18 plateformes : 1/2 x 1 mille, soit un demi puissance dix-huit.

Notre malheureux candidat numéro 1 a donc une chance sur 260 2144.

C'est très peu, et bien sûr, il se trompe.

C'était sûr à 99,9%. En l'occurrence, après avoir franchi la première plateforme, il tombe sur la deuxième.

Ça fait alors deux bonnes plaques de révélées pour la joueuse suivante, la numéro 2, qui s'élance alors.

Elle n'a aucun mal à atteindre la plaque numéro 2, puisque c'est une chose rationnelle qui a retenu la première bonne plaque.

Il lui reste donc cette plateforme à traverser.

La probabilité d'atteindre son but est donc de une chance sur deux à la puissance 16, soit une chance sur 65 1536.

C'est mieux que pour le premier joueur, mais ça reste très peu.

Cette probabilité de 1 sur 2 puissance 16 n'a lieu que lorsque le joueur numéro 1 tombe à la plaque numéro 2.

Ceux qui n'avaient qu'une chance sur quatre de se produire.

La probabilité de l'événement "le candidat numéro 1 tombe à la deuxième plaque, puis la candidate numéro 2 franchit le pont" est donc de 1 car x 1 2816, c'est-à-dire un sur deux puissances 18.

De manière générale, l'enchaînement "le candidat numéro 1 tombe à la plaque x, puis la candidate numéro 2 franchit les plaques restantes" est toujours la même : un sur deux puissances 18. Avant que le candidat numéro 1 ne se lance, la numéro 2 peut alors se faire le raisonnement suivant : il y a pour elle dix-neuf scénarios où elle ne meurt pas, dix-huit où le candidat numéro 1 tombe, et un où les deux sont sauvés.

Chacun de ces scénarios a la même probabilité de 1 sur 2 puissances 18.

Notre candidate numéro 2 a donc 19 chances sur deux puissances 18, soit approximativement pas beaucoup.

On est sur une probabilité de 0,00 7%. La bonne question que chaque candidat doit se poser pour estimer sa probabilité de survie avant que le jeu ne commence, c'est donc de déterminer le nombre de scénarios qui lui seraient favorables. Le premier candidat n'en avait qu'un seul, d'où une chance sur deux puissances 18 de gagner.

Et la deuxième candidate avait 19 scénarios favorables, d'où 19 chances sur deux puissances 18.

Qu'en est-il du troisième ? Il y a déjà les dix-neuf possibilités où au moins l'un des deux premiers candidats a survécu.

Il faut alors compter soigneusement le nombre de scénarios où les deux se plantent tous les deux.

Et pour faire ça, un outil de combinatoire est parfaitement adapté : les combinaisons. Quand on dispose d'un ensemble de n éléments, le nombre de façons différentes de prendre qu'un élément parmi ces n possibilités est appelé "car", et se note verticalement entre deux parenthèses.

Et ce nombre peut se calculer à l'aide d'une formule aussi pratique, élégante que j'ai détaillée un peu plus dans ma vidéo.

Son nom : le nombre de Catalan.

Si, par exemple, j'ai un ensemble de disons 18 plaques de verre, le nombre de façons de choisir deux plaques parmi ces 18 est donc deux parmi 18, ce qui est égal à 153. Ce nombre, c'est donc très précisément le nombre de scénarios différents où les deux premiers candidats vont tous les deux tomber.

Un tel scénario est en effet uniquement défini par les deux plaques qui céderont sous le poids des deux malheureux candidats.

Il y a donc un seul scénario où personne ne tombe, 18 où seul le candidat numéro 1 tombe, et 153 où les deux premiers candidats tombent. Pour le candidat numéro trois, c'est donc un plus 18 plus 153, soit 172 scénarios de probabilités 1/2 à la puissance 18 où il survit.

La victoire est donc assurée avec une probabilité de 172 sur deux puissances 18, soit toujours trop peu pour ne pas perdre immédiatement espoir, à peine 0,1 0,6%.

On peut alors généraliser tous ces calculs : pour le candidat numéro 4, il aura 0,38% de chances de s'en sortir ; la numéro 5 à peine 1,5% ; le candidat numéro 6 quelques 4,8%, et ainsi de suite.

Les.... »