Grand Oral Mathématiques : Le paradoxe de Monty Hall ou quand nos intuitions sont contredites par les probabilités

« GRAND ORAL DE MATHEMATIQUES : LE PARADOXE DE MONTY HALL Introduction Nos intuitions nous jouent souvent des tours, surtout quand il s’agit de probabilités.

Ce qui nous semble logique ne l’est pas toujours mathématiquement, et cette contradiction entre ce qu’on pense et ce qui est vrai est au cœur de nombreux paradoxes. L’un des plus célèbres vient d’un jeu télévisé américain des années 60, Let’s Make a Deal, animé par Monty Hall.

Il met en lumière à quel point il est facile de se tromper… même dans un jeu de hasard en apparence simple. Comment expliquer que, dans certaines situations de choix, notre intuition s’oppose radicalement à l’analyse mathématique, et comment les probabilités peuvent-elles nous aider à prendre la meilleure décision ? Pour y répondre, nous verrons d’abord en quoi consiste ce paradoxe, puis nous l’analyserons rigoureusement à travers une approche probabiliste, avant de montrer les répercussions de ce phénomène et ses applications dans des situations concrètes. I - Présentation du paradoxe Le paradoxe de Monty Hall trouve son origine dans le jeu télévisé américain très populaire Let’s Make a Deal.

Dans ce jeu, un participant fait face à trois portes.

Derrière l'une de ces portes se cache un cadeau de valeur, souvent une voiture, tandis que derrière les deux autres se trouvent des chèvres, des prix bien moins intéressants.

Le but du jeu est de choisir la porte qui cache la voiture, afin de repartir avec ce grand prix. Le déroulement du jeu est relativement simple : 1.​ Le participant choisit une porte, sans savoir ce qu’il y a derrière.

Cette porte reste fermée dans un premier temps.​ 2.​ L'animateur, Monty Hall, qui connaît ce qu’il y a derrière chaque porte, ouvre une des deux portes restantes.

Il choisit toujours une porte avec une chèvre.​ 3.​ Le participant a alors la possibilité de changer de porte, ou de rester sur son choix initial.​ Le cœur du paradoxe réside dans cette dernière décision : Faut-il changer de porte ou rester sur son choix initial ? Intuitivement, il semble que les chances sont égales entre les deux portes restantes après que Monty ait ouvert une porte avec une chèvre.

Après tout, il ne reste plus que deux options possibles, et on pourrait penser que les probabilités de gagner seraient alors réparties équitablement, soit 1/2 pour chaque porte.

Beaucoup de gens, qu’ils aient une formation en mathématiques ou non, sont convaincus que, après avoir éliminé une des options par Monty, il n'y a plus de raison de changer de porte. Cependant, cette intuition, bien que parfaitement logique à première vue, est en réalité fausse.

Ce que nous allons découvrir, c’est que les mathématiques révèlent un résultat surprenant, et qu’il existe une stratégie qui augmente significativement les chances de gagner. Il est donc important de se demander pourquoi notre instinct nous trompe et comment, à travers une analyse rigoureuse, nous pouvons comprendre ce phénomène contre-intuitif. II - Approche probabiliste Maintenant que nous avons posé le problème, passons à l'analyse des probabilités qui sous-tendent le paradoxe de Monty Hall. L’idée est d’analyser les différents scénarios possibles pour déterminer les probabilités associées à chaque option. Imaginons que vous choisissiez la porte 1 au départ.

Voici les trois scénarios qui peuvent se produire, et les probabilités associées : 1.​ La voiture est derrière la porte 1 (votre choix initial).​ ○​ Monty ouvrira l'une des deux portes restantes, et celle-ci contiendra forcément une chèvre, puisque vous avez choisi la porte derrière laquelle se cache la voiture.

Si vous restez sur votre choix, vous remportez la voiture.

Si vous changez de porte, vous perdez, car vous choisirez une chèvre.​ ○​ Probabilité de ce scénario : 1/3.​ 2.​ La voiture est derrière la porte 2.​ ○​ Monty ouvrira la porte 3 pour vous montrer qu’il y a une chèvre derrière celle-ci.

Si vous changez de porte et choisissez la porte 2, vous gagnerez la voiture.​ ○​ Probabilité de ce scénario : 1/3.​ 3.​ La voiture est derrière la porte 3.​ ○​ Monty ouvrira la porte 2, derrière laquelle se trouve une chèvre.

Si vous changez de porte, vous choisirez la porte 3, qui cache la voiture, et donc vous gagnerez.​ ○​ Probabilité de ce scénario : 1/3.​ En résumé, si vous restez sur votre premier choix, vous ne gagnerez la voiture que si elle était effectivement derrière votre porte initiale, soit dans 1 scénario sur 3.

En revanche, si vous choisissez de changer de porte, vous gagnez dans les deux autres scénarios (où la voiture est derrière la porte 2 ou 3), soit dans 2 scénarios sur 3. Cela montre que les probabilités ne sont pas égales entre les deux portes restantes.

En effet, changer de porte augmente vos chances de gagner, vous faisant passer de 1/3 à 2/3. Les mathématiques nous disent donc qu’il est préférable de toujours changer de porte, car cela double vos chances de succès. Si l’on répète cette expérience plusieurs fois, on peut modéliser cela à l’aide de la loi binomiale, qui décrit le nombre de succès dans.... »