Grand Oral mathématiques Comment l'outil logarithmique est-il appliqué dans les sciences ?

« Comment l'outil logarithmique est-il appliqué dans les sciences ? Introduction : Mesdames et messieurs du jury, aujourd'hui nous allons étudier un des outils mathématiques les plus importants qui nous a permis, à nous être humain, une énorme avancée scientifique notamment dans les domaines de l'astronomie ou encore la navigation : Le logarithme.

Ainsi nous répondrons à la question suivante : Comment l'outil logarithmique est-il appliqué dans les sciences ? Introduction de la partie Mathématiques : Tout d'abord mettons au clair ce que sont les logarithmes.

Mathématiquement parlant, un logarithme est la fonction réciproque d'une exponentiation.

Un logarithme possède ce que l'on appelle une base qui est un nombre réel, ici nous pouvons l'appeler b par exemple, et est appliqué sur un chiffre que l'on va appeler a.

Quand on l'utilise, on parle alors du logarithme en base b de a.

La base catégorisant chaque type de logarithme. Concrètement, qu'est ce que cela signifie ? Le logarithme renvoie la puissance, à laquelle il faut élever la base b pour avoir a.

Prenons par exemple, les logarithmes en bases 10.

Le logarithme en base 10 de 1000 seras alors 3, car il faut élever la base 10 à la puissance 3 pour obtenir 1000.

Le logarithme en base 10 de 1 000 000 seras alors 6 car il faut élever la base 10 à la puissance 6 pour obtenir 1 000 000.

On peut généraliser ainsi cette formule, si x est égale à la base b à la puissance n, alors le logarithme en base b de x, seras la puissance n. Comme dit précédemment, les logarithmes sont l'opération inverse d'une exponentiation, si l'on résout alors mathématique 10 puissances le logarithme en base 10 de x, on obtient alors x. Trois fonctions logarithmes à bases différentes s'instaurent dans le monde des sciences et sont utiliser couramment : En premier le logarithme népérien ou logarithme naturel dont la base est le nombre e d’Euler, qui est le logarithme le plus utilisé en mathématique et est également la primitive de la fonction inverse et la fonction réciproque de la fonction l'exponentielle.

Nous avons en second le logarithme décimal, dont la base est 10, il est plus communément utilisé pour les calculs du domaine technologique, en chimie mais également en physique.

Et enfin le logarithme binaire dont la base est 2, utilisé en informatique théorique. Partie Mathématique documentariser : Voila pour la fonction logarithme actuel, mais cette définition n’a pas toujours été celle des logarithmes à travers l'histoire, la première mention du logarithme remonte en 1588 lorsque l'astronome Jost Burgi développa le premier système logarithmique connu pour faciliter les calculs de valeurs de sinus avec une précision encore jamais atteinte auparavant.

Par la suite, en 1614, un mathématicien écossais John Neper publia un traité nommé Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio qui se traduit par La description de la règle merveilleuse des logarithmes. Dans ce traité, Neper introduit les logarithmes comme la correspondance entre deux séries de valeurs, une série arithmétique et une série géométrique.

La série arithmétique est une série qui s'incrémente à chaque nouvelle valeur par 1, elle commence à 0, puis prend les valeurs 1,2, 3 jusqu'a l'infinis.

La série géométrique quant à elle se multiplie successivement à chaque nouvelle valeur par, disons ici 10.

Elle commence donc à 1 puis prend les valeurs 10, 100, 1000 jusqu'a l'infinis.

Et tout deviens ici plus clair, on se rends compte que si l'on cherche par exemple le logarithme en base 10, de 1000, il nous suffit de nous rendre dans la série géométrique, trouver 1000 puis regarder sa correspondance dans la série arithmétique.

On trouve bel et bien 3.

Mais cela ne s'arrête pas ici et c'est la que la règle merveilleuse des logarithmes intervient, imaginez vous voulez réaliser l'opération 100 * 1000, Neper inventa une technique qui est la suivante : On repère 100, qui est 2 dans la série arithmétique, et on repère 1000 qui est 3 dans la série arithmétique.

On additionne les deux termes ensemble, ce qui nous fait 2+3=5, et on retrouve dans la série géométrique le terme correspondant à 5, soit 10 000.

Ainsi, à l'aide d'une table de correspondance, nous avons réussis à transformer une multiplication en simple addition.

De même si on voulait diviser 1000 par 100, on trouve leur logarithme respectif donc 3 et 2, nous calculons leur différence c'est à dire 1, puis nous retrouvons la valeur correspondante, donc 10. Encore plus loin, et plus poussé si nous cherchons à calculer 100^5 par exemple, nous repère 100 qui est 2 dans la série arithmétique, on le multiplie par 5, ce qui nous donne 10, puis nous retrouvons le 10 correspondant dans la série géométrique c'est à dire 10 milliards. Il réussit donc à convertir en quelque sorte la puissance en multiplication, multiplication en addition, et la division en soustraction créant un lien entre une progression arithmétique et une progression géométrique.

Cette progression arithmétique, il la renomme logos arithmos qui signifie nombre proportionnelle, et qui va donc prendre au fur et a mesure le terme de logarithme.

Il facilite ainsi de nombreux calculs de l’époque par correspondance Ici nous avons pris comme base 10, mais Neper n'avais pas pris la base 10 à ce moment-là, la raison simple, imaginez que vous voulez multiplier 36 avec 37, vous ne le pourriez pas car ils n’apparaissent pas dans la table. Neper y réfléchit et propose une solution : il place la base de sa série géométrique, à un chiffre très proche mais inférieur à 1 : 0,9999999 et il débute sa série à 1 millions.

Il publie donc d'immense table de correspondance qu'il écrit à la main, mais le bon coté des choses c'est que cette correspondance il ne faut le faire que une fois, et ensuite on peut l'utiliser quant on le souhaite. Son travail sera poursuivi et prolongé par le mathématicien anglais Henry Briggs qui lui publie les tables de Logarithmes décimaux, sois la bases 10 que nous avons vu, et il en précise les méthodes d'utilisation des.... »