Grand oral math évolutions démographiques

« • modèle exponentiel À l’échelle d’un pays ou d’un continent, l’effectif d’une population évolue constamment. Afin d’anticiper les besoins en ressources (eau, nourriture…), il est important de savoir prédire au plus près l’effectif futur d’une population, ainsi que la quantité de ressources qui lui seront nécessaires. Pour cela, on peut « modéliser », c'est-à-dire partir de données statistiques actuelles sur cette population, et chercher une « traduction » mathématique (formule, équation…) qui les relie le mieux possible.

Cette « traduction » mathématique permet ensuite d’effectuer des prévisions. Pour modéliser l’évolution d’une population, on utilise une suite numérique dont la grandeur u évolue en fonction d’une variable n. Il parait évident que plus notre effectif de base est important plus il se reproduira et plus l’effectif suivant sera grand donc notre effectif augmente de plus en plus vite de façon exponentielle.

On peut traduire ça avec une suite géométrique. un=u0*q**n Thomas Malthus (1766-1834) est un économiste britannique.

En 1798, il publie un essai stipulant que lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle (guerre, famine, épidémie…), elle double tous les 25 ans, donc croît de façon géométrique. On note tn le taux annuel de natalité et tm le taux annuel de mortalité. Le taux de variation annuel de la population est : t = tn – tm Le modèle démographique de Malthus est un modèle de croissance ou de décroissance exponentielle de la population.

Il prévoit que, si le taux de mortalité est supérieur au taux de natalité, l’effectif de la population tend vers zéro, et dans le cas contraire, il tend vers l’infini.

Dans le modèle de Malthus, chaque année, l’effectif de la population est multiplié par (1 + t), donc au bout de n années, on peut prédire que l’effectif de la population aura été multiplié par (1 + t)*n .

on obtient donc que un=u0(1+t)**n avec t le taux de variation annuel de la population. Comment est-ce qu’on utilise cela ? Et bien, imaginons qu’on ait une population de lapin dans un parc.

On sait qu’ils étaient 20 le 1er janvier 2014 et qu’ils sont 60 le 1er janvier 2024.

On cherche à savoir combien serontils le 1er janvier 2030.

Avec u0 l’effectif au 1er janvier 2024. On commence par calculer le taux de variation annuel de la pop, soit: 60/20=3; 3/10=0,3. On applique notre formule pour un= u0*(1+t)n donc u6= 60*1,36~289,6 donc u6=289.

Il y aura 289 lapins dans le parc le 1er janvier 2030. Le seul problème c’est que selon ce modèle notre population croit sans fin, hors ça n’est pas le cas.

Ce modèle est donc utile sur des périodes courtes mais complétement faux sur de longues périodes..... »