Grand oral math comment expliquer le paradoxe des enveloppes ?

« Grand oral math comment expliquer le paradoxe des enveloppes ? INTRO : Les jeux de hasard tel que le loto, la roulette, le bingo sont présents dans notre quotidien.

Un jeu de hasard est un jeu dont le déroulement est partiellement ou totalement soumis au hasard.

Celui-ci peut provenir d'un tirage ou d'une distribution de cartes d'un jet de dé, etc.

Lors de ces jeux, notre pensée va nous permettre de choisir.

Cependant, notre cerveau peut nous conduire au mauvais raisonnement. Ceci peut s’expliquer par plusieurs paradoxes comme le paradoxe des anniversaires ou le dilemme du prisonnier.

Je vais ainsi vous en proposer un qu’on va essayer de résoudre, le paradoxe des deux enveloppes.

Mais avant, il est nécessaire de savoir qu’un paradoxe est une conclusion absurde déduite d’un raisonnement apparemment valide. Voilà la situation, vous êtes l’heureux gagnant d’un jeu télévisé et à l’issu du jeu vous avez le choix entre deux enveloppes A et B que je vous donne ici, chacune est fermé et chacune contient un chèque.

Le montant de l’un des deux chèques est le double du montant de l’autre chèque.

Exemple il peut y avoir 15euros dans l’enveloppe A et un chèque d’une valeur de 30euros dans l’enveloppe B. -Vous choisissez laquelle ? -l’enveloppe... -Êtes-vous sur de vouloir garder cette enveloppe, voulez-vous changer ? -Notre sens commun nous dit qu’il n’y a aucun avantage à changer d’enveloppe car après tout il y a une chance sur 2 pour que vous ayez choisi l’enveloppe avec le plus grand gain.

Mais bon je vais quand même ouvrir l’enveloppe que vous avez choisi, eh bien vous avez eu 100 euros.

Maintenant je vous redemande si vous voulez changer d’enveloppe. 1ER RAISONNEMENT Avant tout, essayons de raisonner un petit peu, l’enveloppe A contient une certaine somme disons X euros il y a une chance sur deux pour que B contient 2x euros et une chance sur deux pour que contient X/2. Xi 2x x/2 P(X=xi) 1/2 1/2 En calculant l’espérance de contenu de l’enveloppe B est donc : 2X*1/2 + X/2*1/2 = 1.25X Rappelons que l’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités de ce que je peux gagner selon les diverses éventualités ; ici c’est ce qu’on trouverait en moyenne dans B, si on recommençait l’expérience un très grand nombre de fois.

L’espérance de contenu de B étant 1.25X euros, et celle de A étant bien sûr de X euros, mon intérêt est de changer mon choix et de prendre B à la place de A.

En moyenne, cela me rapportera 25 % de plus.

Cela veut dire que quel que soit le choix au début nous avons toujours intérêt à changer d’enveloppe. Avec notre exemple, votre enveloppe A contient 100 e c’est-à-dire que l’enveloppe B contient soit 200e soit 50 euros.

Je peux donc gagner 100euros ou perdre 50euros On se dit donc que P(X=50) =1/2 et P(X=200) =1/2 Donc Xi 50 200 P(X=xi) 1/2 1/2 E(X) = 50* 1/2 + 200*1/2 = 25+100= 125 Est-ce bien certain ? Non, c’est ridicule, c’est là que réside le paradoxe notre sens commun nous dit qu’il y a aucune différence à changer d’enveloppe et notre raisonnement nous dit que cela en fait 2ème RAISONNEMENT Essayons de raisonner autrement, il y a deux possibilités (cas 1) A contient X et B contient 2X et (cas 2) A contient 2X.... »