Grand oral : le paradoxe des anniversaire
Publié le 23/06/2024
Extrait du document
«
INTRO:
Avant toute chose, je vais rappeler ce qu'est une probabilité :
Le terme probabilité possède plusieurs sens, li désigne l'opposé du
concept de certitude; il est également une évaluation du caractère
probable d'un
évènement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré
de certitude ; récemment, la probabilité est devenue une science
mathématique et est appelée « théorie des probabilités »ou plus
simplement « probabilités ».
La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et .1
Plus ce nombre est grand, plus la chance, que l'événement se produise est
grand.
Si la
probabilité d'un évènement est égale à 0, li y a 0% de chance que cet
évènement se produise et si la probabilité d'un évènement est égale à 1, il
y a 100% de chance que cet évènement se produise.
La somme d'un évènement Xet de son évènement contraire doit être égale
à .1
Ainsi, posons-nous la question suivante: Commentexpliquerq u es u ru n
grouped e2 3personnesi lva a umoins1 chances u r2 q u e2
personnessoitnée
l em ê m ej o u r?
Cette question est tirée du paradoxe des anniversaires.
Ce paradoxe est à
l'origine une estimation probabiliste du nombre de personne que l'on doit
réunir dans un groupe pour avoir 50% de chance que 2 personnes de ce
groupe aient leur anniversaire le même jour.
Dans ce groupe on parle de
personne qui
partage le même jour et mois de naissance mais pas forcément la même
année
Contre toute attente, il se trouve que ce nombre est 23.
On dit même qu'à
partir d'un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99%
Cependant il ne s'agit pas d'un paradoxe dans le sens de contradiction
logique; c'est un paradoxe, dans le sens où c'est une vérité mathématique
qui contredit
l'intuition : la plupart des gens estiment que cette probabilité est très
inférieure à 50 %.
PARTIE1 : Définir et expliquer les notions : factorielle, évènements, arbre
pondéré...
PARTIE 2 ; Illustrer avec un exemple
PARTIE3 ; Démonstration et explication du paradoxe
EXPLICATIONETDEFINITIOND E SNOTIONS:
Avant toute chose, je vais vous expliquer quelques notions clés sur les
probabilités afin que vous compreniez au mieux la résolution du
paradoxe :
• Factorielle d'un nombre :on appelle factorielle d'un nombre n le produit
de tous les nombres de 1 à n, il se note n! et il se lit « factorielle n »
Exemple : 3! = 1x2×3 = 6
• Evènement; dans le cadre des probabilités, un événement lié à une
expérience aléatoire est un sous-ensemble des résultats possibles pour
cette expérience.
Exemple : Lors d'une lancée de pièce on note Xl'évènement « obtenir pile
» et on appelle Xbar l'évènement contraire de X, en l'occurrence ici «
obtenir
f a c e ».
EXEMPLE POURILLUSTRERLES PROBABILITES.;
Afin de mieux comprendre comment faire la probabilité d'un événement
donnée, je vais vous l'expliquer à l'aide d'un exemple précis : On
considère l'expérience suivante :
Une urne contient 3 boules blanches et 2 boules rouges.
On tire au hasard
une boule et on la remet dans l'urne.
Qu'elle est la probabilité d'obtenir une boule blanche? Et qu'elle est la
probabilité d'obtenir une boule rouge ?
Il faut d'abord se représenter l'ensemble et les sous-ensembles de cette
expérience:
L'ensemble désigne tous les éléments d'une expérience, ici c'est toutes les
boules, donc l'ensemble est égal à 5
Un sous-ensemble désigne une partie de l'ensemble de l'expérience, ici on
a 2 sous-ensembles : les 3 boules blanches et les 2 boules rouges.
Ainsi pour pouvoir trouver une probabilité on fait le calcul suivant : sousensemble/ensemble.
Dans notre exemple, la probabilité de tiré une boule blanche est égale à
3/5, qui nous donne 0,6.
La probabilité de tiré une boule rouge est égale à 2/5, qui nous donne 0,4.
Comme je vous l'ai dit en introduction la somme d'un événement Xet de
son évènement contraire doit être égale à 1, ce qui équivaut en probabilité
à 100%.
Dans notre exemple la somme des 2 probabilités : 0,6 + 0,4 est
égale à 1, donc notre probabilité est vérifiée.....
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