Grand oral Echec

« Comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs ? Les échecs sont un jeu de stratégie mondialement connu qui consiste à faire tomber le roi de son adversaire.

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Ce jeu fut inventé en Inde au VIème siècle,il s’est répandu en Europe durant le Moyen-Âge et devint réellement populaire au XIIème siècle.

Depuis, des centaines d’années se sont écoulées et des millions de personnes y jouent quotidiennement chez eux ou en club. Comme pour le foot, un débat existe quant à l’existence d’un éventuel meilleur joueur, nous allons donc voir comment les mathématiques permettent-elles de classer les joueurs d’échecs ? 1) Le système élo et mise en situation Le système Elo permet de classer différents joueurs, il fut inventé par Arpad Elo (1903-1992), professeur de physique et joueur d’échecs hongrois.

Ce système permet de déterminer les chances de victoire d’un joueur par rapport à l’autre en comparant leur nombre de points ainsi que de les classer en fonction des résultats de leur match. Intéressons-nous d’abord à l’élaboration de ce système pour pouvoir ensuite essayer de prévoir les résultats d’un match entre Magnus Carlsen, champion du monde de 2013 à 2023, joueur avec le plus de points Elo avec 2853 points et Ding Liren, vainqueur du championnat du monde 2023 avec 2789 points. et Système et formules : Lorsqu’un jeu oppose les joueurs A et B, nous pouvons connaître plusieurs choses telle que la probabilité qu’un joueur gagne contre un autre.

Cette dernière permet également de calculer le rapport de force noté X, qui se traduit par « combien de fois A et plus fort que B ». Ce dernier se calcule par X(A,B) = P(A)/P(B) , P(A) et P(B) étant les probabilités respectives d’un joueur de gagner face à l’autre.

Par exemple, si A gagne 75% du temps, X vaut 0.75/0.25 soit 3.

A est donc 3 fois plus fort que B. On peut à l’inverse calculer les chances de gagner face à un adversaire en connaissant le rapport de force X : On pourrait en faire un système de classement en respectant ces relations, mais ce dernier a plusieurs problèmes à cause de la proportionnalité : (définir pour les questions) Premièrement, les joueurs les plus forts de tous auraient un nombre de points gigantesque, si grand qu’on ne se rendrait pas compte de ce que cela représente, il s’agit du même problème qu’avec la force des séismes ou l’intensité sonore, d’où l’utilisation de l’échelle de Richter ou du niveau d’intensité sonore en décibels. A l’inverse, les joueurs les plus faibles auraient un nombre de point qui tend vers 0 La compréhension d’un tel classement serait trop compliquée et non évidente. Pour y remédier : on applique une fonction que l’on nomme f afin de déterminer la différence de nombre de points entre deux joueurs pour rendre le système plus parlant, cette fonction doit respecter les liens entre les joueurs ainsi que la relation suivante : D(A ;B) = f(P(A/B)) Enfin, on veut que cette formule soit une fonction qui dépend de la probabilité de victoire, elle doit donc être additive.

En effet, la différence de points Elo entre les joueurs A et C doit être égale à la somme des différences de points Elo entre A et B d’une part et B et C d’autre part.

En langage mathématiques, cela se traduit par f(a;c) = f(a;b) + f(b;c).

Il s’agit de la propriété du logarithme (calculer écart de point en fonction des probabilités de gagner) On obtient donc cette formule avec A et B des constantes à déterminer. Dans le cas des échecs, on prend A= 400 et B = 10 (logarithme décimal), ces deux paramètres sont utilisés par la FIDE (fédération internationale des échecs) (dire avantage logarithme base 10) A l’inverse, on peut obtenir une formule qui permet de connaître la probabilité de gagner en fonction de l’écart de point entre les deux joueurs, on détermine donc l'antécédent avec l’image. (démonstration sur la feuille) 2) Actualisation du système : Pour calculer les variations, on utilise une nouvelle formule avec p(D), la probabilité de gagner en fonction de la différence D avec l’adversaire, et W, un nombre qui correspond aux résultats du match : Ce dernier prend différentes valeurs 1 = victoire, ½ = égalité et 0 = défaites K étant un coefficient qui permet d’ajuster en fonction de nombreux paramètres (âge, expérience, tournoi…) Par exemple, pour la FIDE, K vaut : 40 si le joueur n’a pas encore effectué 30 parties, 20 si sa force est inférieure à 2400 et 10 s’il a dépassé le seuil des 2400 (seuil; pour être grand maître) Ceci permet aux nouveaux joueurs de rejoindre rapidement un positionnement qui leur correspond et que les joueurs les plus forts ne s’éloignent pas trop en nombre de points. 3) Que sa passera-t-il lors du match ? En appliquant ces formules, nous pouvons premièrement trouver la probabilité de gagner pour Magnus Carlsen et calculer le nombre de points qu'il gagnerait : Ainsi, plus notre Elo est élevé, plus on peut en perdre beaucoup et plus il est difficile d’en gagner, si par exemple un joueur qui vient de débuter gagne contre Magnus Carlsen, il gagnera En définitive, le classement Elo permet d’attribuer un rang théorique aux joueurs d’échecs de manière à refléter au mieux leur niveau.

Ce dernier est très judicieux car il représente de manière précise et concrète le niveau d’un joueur et prend en compte tous les paramètres les plus importants tels que la probabilité de gagner, la différence de niveau mais également l’ancienneté du joueur ou le contexte du match.

Ainsi, de par sa facilité de compréhension et sa justesse, ce classement fut repris dans de nombreuses autres disciplines telles que le football de manière non-officielle par désaccord avec le classement FIFA mais de manière officielle pour le football féminin. Questions : score de base : 1000 ou on choisit en ligne (confirmé, débutant…) ou parties de classement.... »