grand oral: Comment calculer les annuités d’un prêt ?

« Comment calculer les annuités d’un prêt ? Comment les suites permettent-elles de calculer les annuités d’un prêt ? Contexte : Emprunts, crédits ou prêt immobiliers font partie de la vie quotidienne de nombreux Français.

Ainsi, lorsqu'une personne, contacte sa banque ou un autre organisme afin de contracter un prêt, il reçoit en retour un tableau lui indiquant le montant emprunté, le taux, ainsi que les annuités (montants annuels) ou les mensualités (montants mensuels) qu'il lui faudra rembourser. Ce tableau est construit à partir d'un algorithme qui, en fonction du capital emprunté, du taux du prêt et de la durée du prêt indique les annuités que la personne devra rembourser.

L'intérêt de cette question est de mettre en évidence le modèle mathématique qui permet de calculer les annuités ou les mensualités. Mots clés : - emprunt : - prêt : - taux d'intérêt : - différence entre taux fixe et taux variable : - annuité : - mensualité : - assurance d'un prêt : Récemment, j’ai accompagné ma mère à la banque car elle souhaitait négocier un prêt immobilier, ce qui m’a poussé à m’intéresser à ce sujet. Je note C le montant du capital, en euros, que le client souhaite emprunter et N la durée du prêt en années souhaitée par le client.

Le banquier va alors lui proposer un taux d’intérêts, en pourcentage que je noterais t.

Ces notations sont rappelées sur mon support.

L’objectif de ma présentation est de mettre en évidence une formule qui permet de déterminer le montant de l’annuité que le client devra verser à la banque, chaque année.

Je note a cette annuité. Je pense que le plus efficace est de modéliser cette situation à l’aide des suites. Si on note Cn le capital restant dû par le client au bout de n années, alors d’une part on a C0 = C et d’autre part, Cn+1 = (1 + t/100) Cn – a. En effet, le capital restant dû à l’année n+1 est égal au capital à l’année n (c’està-dire Cn) augmenté du taux d’intérêts t et auquel on soustrait le montant payé par le client sur l’année, c’est-à-dire l’annuité a.

On reconnait donc la formule de récurrence d’une suite arithmético-géométrique. Mon premier objectif est alors de donner la formule explicite de Cn en fonction de n.

Je sais grâce à mes cours qu’il faut commencer par déterminer le nombre d tel que d = (1 + t/100) d – a. D’après mes calculs que j’ai détaillé sur mon support, je trouve que d = 100* a/t. je démontre alors que la suite Vn définie sur N par Vn = Cn – d est géométrique. En effet, on démontre que Vn+1 = (1 + t/100) Vn.

Là encore,.... »