géométrie.

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géométrie. n.f., branche des mathématiques traitant des propriétés de l'espace. D'abord
liée à la mesure pratique des terrains, la géométrie s'est développée comme une science
déductive chez les mathématiciens grecs, dès le IVe siècle avant J.-C. À partir du XVIe siècle
et jusqu'au XIXe siècle, la géométrie classique, dite « euclidienne «, multiplia les problèmes de
construction et les résultats concernant les figures formées de points, de droites et de
cercles. Encore aujourd'hui, les problèmes portant sur la construction, la mesure ou la
découverte de propriétés de certaines figures sont souvent identifiés à la géométrie tout
entière.
Cependant, si la géométrie d'Euclide et de ses successeurs restait un modèle pour
l'exposition et la démonstration en mathématiques, les objets de son étude d'abord, ses
méthodes ensuite et ses fondements mêmes allaient être profondément mis en cause au
XIXe siècle.

La géométrie projective.
Cette géométrie trouve son origine dans la représentation perspective découverte par les
peintres italiens du quattrocento. Des mathématiciens comme Girard Desargues (1640) et
Jean Victor Poncelet (1822) s'intéressèrent aux transformations, appelées « projections «,
ramenant les « points à l'infini « à une distance finie ou, inversement, expédiant à l'infini
certains points particuliers. La recherche d'un exposé méthodique de cette géométrie allait
à la fois faire apparaître des objets nouveaux (ruban de Möbius, bouteille de Klein, plan
projectif...) et des concepts essentiels (invariants, groupes de transformations...), mais
aussi montrer comment replacer la géométrie euclidienne dans un cadre axiomatique
pouvant accepter bien d'autres géométries.

Les géométries non euclidiennes.
Durant des siècles, les mathématiciens se sont évertués à démontrer le « cinquième
postulat « d'Euclide qui énonce que « par un point pris hors d'une droite, on peut mener
une et une seule parallèle à cette droite «. Giovanni Girolamo Saccheri (1662-1733) et
Jean Henri Lambert (1728-1777) développèrent, à partir de la négation de ce postulat
euclidien, de longues et importantes argumentations, mais sans jamais pouvoir faire
apparaître de contradiction. La possibilité de développer une géométrie cohérente sur la
négation de ce postulat, tout en conservant tous les autres axiomes de la géométrie
classique, fut explicitée presque simultanément par le Russe Nikolaï Lobatchevski et le
Hongrois János Bolyai : par un point pris hors d'une droite, on peut faire passer une infinité
de droites qui ne la coupent pas et dont deux particulières méritent le nom de parallèles à
cette droite. Non seulement il est possible de donner des exemples concrets d'une telle
géométrie (comme l'ont fait Eugenio Beltrami et Henri Poincaré), mais les progrès de la
physique au XXe siècle laissent entendre que notre Univers serait de cette nature (c'est-àdire non euclidien), essentiellement à cause de la courbure créée par les phénomènes de
gravitation.
Complétez votre recherche en consultant :
Les livres
sciences (histoire des) - représentation d'un espace courbe, page 4681,
volume 9

Les géométries et les groupes de transformations.
C'est en 1872 que Felix Klein publia le Programme d'Erlangen qui marque la date de
naissance de la géométrie moderne. Il y expliquait que les objets et les figures étudiés ne
caractérisent pas une géométrie aussi bien que la nature des transformations qui opèrent
sur eux et, plus particulièrement, les groupes de transformations géométriques qui
conservent tel ou tel aspect de leurs propriétés. Il montrait comment la considération de
ces groupes permet, d'une part de classer et de hiérarchiser les différentes géométries que
leur dénomination semble opposer (projective, euclidienne, non euclidienne,
riemannienne...), d'autre part de montrer l'équivalence de géométries apparemment
différentes par leurs objets, objets sur lesquels néanmoins opère le même groupe.

L'axiomatisation de la géométrie.
Ainsi, à la fin du XIXe siècle, les problèmes de fondements de la géométrie étaient-ils
totalement élucidés ; en 1899, David Hilbert énonça explicitement et exhaustivement les
axiomes de la géométrie euclidienne sous une forme ordonnée qui fait clairement
apparaître les liens et les différences avec les autres géométries alternatives. Cependant,
après les travaux de Georg Cantor sur les nombres réels et les avancées de Giuseppe
Peano, Ernst Zermelo et des logiciens sur la théorie des ensembles, on démontra que
toutes les mathématiques pouvaient être fondées sur l'arithmétique élémentaire, c'est-àdire sur les nombres entiers. Déjà, depuis Descartes, les mathématiciens avaient pris
l'habitude de résoudre certains problèmes « par les nombres « en choisissant de repérer
des points, des droites ou des courbes, en mesurant leur distance à un axe parallèlement à
une direction donnée. Cette méthode, connue sous le nom de géométrie analytique et
parfaitement au point depuis Gaspard Monge (1804), est d'ailleurs toujours très utile et
utilisée, surtout depuis l'apparition des ordinateurs et de leurs possibilités graphiques. C'est
donc à partir des nombres et de leurs propriétés que l'on peut aujourd'hui exposer la (ou
les) géométrie(s) dans un cadre unifié : celui de l'algèbre linéaire.
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Les corrélats
affine (géométrie)
axiome
Cantor Georg
Chasles Michel
courbe
Desargues Girard
Descartes René
descriptive (géométrie)
droite [1]
Éléments d'Euclide
Euclide
Euler Leonhard
Gauss Carl Friedrich
groupe - 3.MATHÉMATIQUES
Hilbert David
invariant
Klein Felix
Lobatchevski Nikolaï Ivanovitch
mathématiques
Möbius August Ferdinand
Monge Gaspard
parallèle - 1.MATHÉMATIQUES
Pascal Blaise
Poncelet Jean Victor
Pythagore
Riemann Bernhard
sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes
sciences (histoire des) - La lumière - Les nombres complexes
Thalès