fractale, géométrie - mathématiques.

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fractale, géométrie - mathématiques.
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PRÉSENTATION

fractale, géométrie, branche de la géométrie qui cherche à décrire mathématiquement des objets ayant une forme complexe, très rugueuse ou fragmentée, telle qu'on en trouve dans la nature.

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ORIGINE

Apparues au

XIXe

siècle, les fractales sont considérées comme des « monstres « mathématiques jusqu'au milieu du

XXe

siècle. Elles n'acquièrent un statut à part entière que dans les années 1970, grâce au mathématicien français Benoît Mandelbrot qui

en fait l'objet d'une nouvelle discipline mathématique : la géométrie fractale, rendue populaire par son ouvrage les Objets fractals : forme, hasard et dimension (1975).
Il invente l'adjectif « fractal « (du latin fractus, « brisé «) pour qualifier un objet naturel ou un ensemble géométrique combinant les caractéristiques suivantes :
- ses parties ont la même forme ou structure que le tout, à ceci près qu'elles sont à une échelle différente et peuvent être légèrement déformées. Cette propriété est appelée par les mathématiciens homothétie interne ou autosimilarité d'échelle ;
- sa forme est soit extrêmement fragmentée, soit extrêmement irrégulière, et reste inchangée quelle que soit l'échelle d'observation.
La feuille de fougère, la structure des alvéoles pulmonaires ou la forme des montagnes sont des exemples d'objets naturels fractals : chaque partie a la même structure que l'ensemble. La géométrie fractale développe des outils mathématiques pour
décrire ce type d'objets.

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NOTION DE DIMENSION FRACTALE, OU COMBIEN MESURE LA CÔTE DE LA BRETAGNE ?

En géométrie euclidienne, les figures ont une dimension entière : 0 pour un point, 1 pour une courbe, 2 pour une surface et 3 pour un volume. En revanche, la dimension d'une fractale peut prendre des valeurs qui ne sont pas des nombres entiers
(valeurs fractionnaires) : la dimension fractale constitue ainsi une généralisation de la notion de dimension utilisée en géométrie euclidienne.
On peut approximer une courbe classique (continue, dérivable) par n segments de droite de longueur L. Ainsi, nL est une approximation de la longueur de la courbe. En divisant par 2 la longueur des segments, on améliore la mesure. En répétant le
processus, la longueur mesurée se stabilise rapidement vers la longueur exacte de la courbe. Dans le cas d'une courbe fractale, chaque fois qu'on diminue la taille des segments de droite, on mesure des détours supplémentaires. Dans l'exemple
classique de la mesure des côtes de la Bretagne, chaque fois qu'on divise la taille du pas de mesure, on parvient à mesurer le contour de criques supplémentaires, qui elles-mêmes contiennent d'autres criques et péninsules. La longueur mesurée
augmente à chaque nouvelle tentative de mesure, et tend vers l'infini. La dimension fractale d'une courbe décrit à quelle vitesse la longueur tend vers l'infini quand on diminue la taille de la jauge. La longueur mesurée « croît « comme L/LD (L divisé
par L à la puissance D), où D est la dimension fractale. Pour une courbe classique, D = 1 et la longueur converge, c'est-à-dire qu'elle tend vers une limite finie. Pour une courbe fractale, D est un réel, compris entre 1 et 2. Plus D est grand, plus l'objet
est complexe et comporte de détours. Par exemple, la courbe de Koch (ou « flocon de neige «), dont la longueur est multipliée par 4/3 à chaque étape de sa construction, a une dimension fractale D = log 4/log 3 = 1,26. Une courbe de Peano, du nom
du mathématicien Giuseppe Peano, est de dimension fractale 2.

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APPLICATIONS DE LA GÉOMÉTRIE FRACTALE

La géométrie fractale n'est pas qu'une théorie abstraite. En effet, les fractales se sont révélées adaptées à la représentation d'objets naturels complexes.

4.1

La géométrie fractale dans les sciences de la vie

En biologie, on utilise par exemple des modèles fractals pour décrire les structures ramifiées des vaisseaux sanguins, de l'aorte aux capillaires (voir appareil circulatoire). Les grosses artères se divisent en artères moyennes puis en artérioles, avec à
chaque niveau une structure similaire. Ainsi les réseaux sanguins, d'un volume limité, ont une surface très grande. De même, la géométrie des poumons, avec ses bronches et leurs ramifications, possède une surface supérieure à celle d'un terrain de
tennis, et est efficacement modélisée par des fractales.

4.2

La géométrie fractale dans les sciences de la Terre et de l'Univers

En géologie, les fractales sont très efficaces pour décrire les reliefs de la Terre ou des autres planètes.
En astrophysique, la répartition des galaxies se révèle être de structure fractale (voir amas et superamas).

4.3

La géométrie fractale dans la théorie du chaos

Les fractales interviennent également dans le cadre de la théorie du chaos déterministe, qui possède des applications dans de nombreux domaines (chimie, mécanique des fluides, biologie, etc.) : l'étude de certains phénomènes dynamiques fait
apparaître des structures appelées « attracteurs étranges « dont la géométrie est fractale.

4.4

La géométrie fractale dans les techniques informatiques

Par ailleurs, la beauté des fractales en a fait un élément-clé de l'Infographie, en rendant possible par exemple le rendu réaliste de paysages de synthèse.
Les fractales servent aussi à stocker des images fixes ou des vidéos sur un ordinateur. La compression fractale des images est utilisée dans de nombreuses applications multimédias. En 1987, le mathématicien Michael F. Barnsley montre en effet
qu'on peut obtenir une approximation de photographies numérisées à l'aide de fractales. Par ce moyen, il est possible de stocker des images en utilisant un nombre minimal de données.
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