FONCTION POLYNOME DU SECOND DEGRE

« Chapitre 1 Problèmes du deuxième degré 1.1 Fonction polynôme du deuxième degré 1.1.1 Rappels Dénition.

Une fonction polynôme de degré 2 est une fonction f dénie sur R dont l'ex- pression peut être mise sous la forme f (x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des nombres réels avec a 6= 0. Propriétés. • La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. • On distingue deux cas pour les variations d'une telle fonction : Lorsque a < 0 : Lorsque a > 0 : x −∞ −b 2a +∞ Variations de f x Variations de f m 7 −∞ −b 2a M +∞ 8 CHAPITRE 1. PROBLÈMES DU DEUXIÈME DEGRÉ 1.1.2 Forme canonique Propriété.

Toute fonction polynôme de degré 2 f dénie sur R par f (x) = ax2 + bx + c peut s'écrire de manière unique sous la forme f (x) = a(x − α)2 + β où α = −b 2a et β sont des nombres réels.

Cette forme est la forme canonique de f . Démonstration.

En transformant l'écriture de f (x), on a : f (x) = ax2 + bx + c   b 2 =a x + x +c a Or, dans les parenthèses, on reconnaît une partie de la forme développée d'une identité remarquable :  x+ b 2a 2 b b2 = x2 + x + 2 a 4a Ainsi :  b b2 b2 f (x) = a x + x + 2 − 2 + c a 4a 4a ! 2  2 b b − 2 +c x+ =a 2a 4a 2  b2 b − +c =a x+ 2a 4a  2 b −b2 + 4ac =a x+ + 2a 4a   2 b −b2 + 4ac =a x− − + 2a 4a  2 = a(x − α)2 + β On obtient bien la forme canonique, avec α = −b2 + 4ac −b et β = . 2a 4a Conséquence.

La parabole représentant la fonction polynôme du deuxième degré f : x 7→ ax2 + bx + c admet pour sommet S(α ; β). Exemple.

Mettons sous forme canonique l'expression de f : x 7→ 2x2 − 12x + 17 dénie sur 1.2. 9 ÉQUATION DU DEUXIÈME DEGRÉ Df = R.

On a : ∀x ∈ R, f (x) = 2(x2 − 6x) + 17 = 2(x2 − 2 × x × 3 + 32 − 32 ) + 17 = 2(x − 3)2 − 18 + 17 = 2(x − 3)2 − 1 La valeur minimale atteinte par (x − 3)2 est 0 lorsque x = 3 donc la valeur minimale atteinte par f (x) est −1 lorsque x = 3.

Comme le coecient dominant de f vaut a = 2 > 0, la parabole représentant f est tournée vers le haut.

Le sommet S de cette parabole a pour coordonnées S(3 ; −1), il est associé à un minimum. 1.2 Équation du deuxième degré Dénition.

Le discriminant d'une équation du deuxième degré ax2 + bx + c = 0 (avec a 6= 0) est le nombre ∆ = b2 − 4ac. Exemple.

Le discriminant de l'équation 2x2 − 3x − 5 = 0.... »