FONCTION EXPO
Publié le 17/10/2021
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«
FONCTION EXPONENTIELLE
Connaissances :
— Dénition de la fonction exponentielle, comme unique fonc tion dérivable surRvériant f′
= f
et f(0) = 1 .
L’existence est admise.
Notation exp(x ).
— Pour tous réels xet y, exp (x + y) = exp(x )exp (y ) et exp (x )exp (− x) = 1 .
Nombre e.
Notation
e x
.
— Pour tout réel a, la suite (e na
)est une suite géométrique.
— Signe, sens de variation et courbe représentative de la fon ction exponentielle.
I.
Dénition et propriétés
Théorème
Il existe uneunique fonction fdénie et dérivable du Rtelle que :
f ′
= f et f(0) = 1 .
Cette fonction ne s’annule jamais.
Preuves :
• L’existence est admise .
• Soit la fonction hdénie sur Rpar h(x ) = f(x ) × f(− x).
On a h(0) = f(0) ×f(− 0) = 1 ×1 = 1 .
par ailleurs les fonction x7→ f(x ) et x7→ f(− x) sont
dérivables, il en est donc de même de la fonction h.
On a h′
( x ) = f′
( x ) × f(− x) + f(x ) ×
( − f′
( x )) = f(x )f (− x) − f(x )f (− x) = 0 .
La fonction hest donc constante.
Il existe alors
k ∈ R tel que ∀x ∈ R,h(x ) = k.
Or, comme h(0) = 1 on a∀x ∈ R,h(x ) = 1 .
Ainsi ∀x ∈ R,
f (x )f (− x) = 1 .
Supposons qu’il existe a∈ R, tel que f(a ) = 0 .
Alors f(a )f (− a) = 0 ×f(− a) = 0 .
C’est en
contradiction avec le fait que ∀x ∈ R,f(x )f (− x) = 1 et qu’en particulier , f(a )f (− a) = 1 .
Par conséquent ∀x ∈ R,f(x ) 6
= 0 .
• L’unicité .
Soitfet gdeux fonctions telles que :
f ′
= f ;f(0) = 1 etg′
= g ;g(0) = 1 .
Comme de telles fonctions ne s’annulent jamais, la fonction x7→ f
(x )
g(x ) est dénie.
On a : Ä
f
gä
′
= f
′
g − g′
f g 2
=f g
−gf g2
= 0
, Donc f g
est constante.
Par conséquent ∃k ∈ R,∀ x ∈ R,; f
(x )
g(x ) =
k.
En particulier pour x= 0 on a : f
(0) g(0) =
k⇔ 1 1
=
k⇔ k= 1 .
Ainsi ∀x ∈ R,f
(x )
g(x ) = 1
⇔ ∀x∈ R;f (x ) = g(x ).
Soit f= g.
On a donc bien l’unicité.
Dénition
La fonction dérivable sur Rvériant :
f′
= f et f(0) = 1 .
est appelée fonction exponentielle et on la noteexp.
Propriétés
pour tout couple (x ;y ) de réels : exp(x + y) = exp(x ) × exp (y ).
Preuve : Soityun réel xé.
On dénit ∀x ∈ R,f(x ) = exp
(x + y) exp (x ) .
f , quotient de fonctions dérivables sur R, est aussi dérivable sur R.
1.
»
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