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FONCTION EXPO

Publié le 17/10/2021

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« FONCTION EXPONENTIELLE Connaissances : — Dénition de la fonction exponentielle, comme unique fonc tion dérivable surRvériant f′ = f et f(0) = 1 .

L’existence est admise.

Notation exp(x ). — Pour tous réels xet y, exp (x + y) = exp(x )exp (y ) et exp (x )exp (− x) = 1 .

Nombre e.

Notation e x . — Pour tout réel a, la suite (e na )est une suite géométrique. — Signe, sens de variation et courbe représentative de la fon ction exponentielle. I.

Dénition et propriétés Théorème Il existe uneunique fonction fdénie et dérivable du Rtelle que : f ′ = f et f(0) = 1 . Cette fonction ne s’annule jamais. Preuves : • L’existence est admise . • Soit la fonction hdénie sur Rpar h(x ) = f(x ) × f(− x). On a h(0) = f(0) ×f(− 0) = 1 ×1 = 1 .

par ailleurs les fonction x7→ f(x ) et x7→ f(− x) sont dérivables, il en est donc de même de la fonction h.

On a h′ ( x ) = f′ ( x ) × f(− x) + f(x ) × ( − f′ ( x )) = f(x )f (− x) − f(x )f (− x) = 0 .

La fonction hest donc constante.

Il existe alors k ∈ R tel que ∀x ∈ R,h(x ) = k.

Or, comme h(0) = 1 on a∀x ∈ R,h(x ) = 1 .

Ainsi ∀x ∈ R, f (x )f (− x) = 1 . Supposons qu’il existe a∈ R, tel que f(a ) = 0 .

Alors f(a )f (− a) = 0 ×f(− a) = 0 .

C’est en contradiction avec le fait que ∀x ∈ R,f(x )f (− x) = 1 et qu’en particulier , f(a )f (− a) = 1 . Par conséquent ∀x ∈ R,f(x ) 6 = 0 . • L’unicité .

Soitfet gdeux fonctions telles que : f ′ = f ;f(0) = 1 etg′ = g ;g(0) = 1 . Comme de telles fonctions ne s’annulent jamais, la fonction x7→ f (x ) g(x ) est dénie. On a : Ä f gä ′ = f ′ g − g′ f g 2 =f g −gf g2 = 0 , Donc f g est constante. Par conséquent ∃k ∈ R,∀ x ∈ R,; f (x ) g(x ) = k.

En particulier pour x= 0 on a : f (0) g(0) = k⇔ 1 1 = k⇔ k= 1 . Ainsi ∀x ∈ R,f (x ) g(x ) = 1 ⇔ ∀x∈ R;f (x ) = g(x ).

Soit f= g.

On a donc bien l’unicité. Dénition La fonction dérivable sur Rvériant : f′ = f et f(0) = 1 . est appelée fonction exponentielle et on la noteexp. Propriétés pour tout couple (x ;y ) de réels : exp(x + y) = exp(x ) × exp (y ). Preuve : Soityun réel xé.

On dénit ∀x ∈ R,f(x ) = exp (x + y) exp (x ) . f , quotient de fonctions dérivables sur R, est aussi dérivable sur R. 1. »

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