Exos de math fonction MATRICES CALCUL MATRICIEL

« MATRICES CALCUL MATRICIEL • Définitions ; types de matrices • Opérations (dont inverse et puissances d'une matrice carrée) • Applications : résolution de systèmes linéaires, suites récurrentes, suites de matrices, etc I-Notion de matrice ; vocabulaire : On utilise la notation matricielle pour représenter des tableaux de nombres, cette notation permet de calculer rapidement à la main, ou à l’aide de la calculatrice, des opérations plus ou moins fastidieuses et répétitives. Elle permet également de résoudre de manière algorithmique des systèmes d’équations ou d’autres problèmes plus complexes liés à la modélisation en sciences économiques et sociales, en sciences de la vie et de la Terre, en physique, en informatique ... I-Notion de matrice ; vocabulaire : Repères historiques : les matrices, en tant que tableaux, sont apparues il y a longtemps dans la résolution de systèmes d’équations linéaires à l’aide du déterminant, puis aux transformations géométriques (translation, rotation, symétrie, .

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.). Mais ce n’est qu’au milieu du XIXe siècle avec Sylvester qui donne le nom de matrice à ces tableaux puis avec Cayley qui définit les opérations usuelles, dans un traité sur les transformations géométriques que le calcul matriciel a pris toute sa dimension révolutionnaire. Enfin en 1913, Cullis utilise pour la première fois la notation entre parenthèse. Définition 1 : On considère n et p deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. On appelle matrice de dimension (ou d’ordre) n×p un tableau de n lignes et p colonnes de nombres réels.

Les nombres sont regroupés entre deux grandes parenthèses ou bien entre deux grands crochets. On note 𝐢𝐣 l’élément de la matrice C situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j. Exemple d’une matrice d’ordre 2x4 : Son coefficient 𝟐𝟑 est …… Définition 2: 2 matrices A et B sont égales lorsque : -elles ont la dimension m x n - Remarques : 1)Si le nombre de ligne n est égal à 1, c’est une matrice-ligne ou un vecteur-ligne.

Exemple : 2)Si le nombre de colonne p est égal à 1, c’est une matrice-colonne ou un vecteur-colonne.

Exemple : 3)Si le nombre de colonnes p est égal au nombre de lignes n, alors on dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre n. Exemple de matrice carrée d’ordre 3 : Une technique à maitriser : la multiplication d’une matrice-ligne par une matrice – colonne de même dimension On multiplie chaque élément de la matrice ligne par l’élément qui lui correspond dans la matrice colonne.

Le résultat est un nombre qui est la somme de tous les produits obtenus. Un exemple de calcul : on considère le produit A x B Attention : le produit B x A n’est pas possible ! Calculatrice et Matrices Pour les calculs sur les matrices, il faudra dans la plupart des cas utiliser sa calculatrice.

Elle possède un mode matrice qui permet de réaliser toutes les opérations. II-Opérations sur les matrices: 1)Multiplication par un réel Le produit d’une matrice A par un réel k est la matrice kA. Elle s’obtient en multipliant chaque élément de la matrice par le réel k. Exemple : II-Opérations sur les matrices: 2)Somme et différence de 2 matrices Exemple : II-Opérations sur les matrices: 2)Somme et différence de 2 matrices Remarque : II-Opérations sur les matrices: 3)Transposée d’une matrice Définition : soit une matrice M de dimension m x n, alors la transposée de M est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice M. Exemple : si alors Remarque : Si M est une matrice carrée, alors sa transposée a des coefficients inchangés sur la diagonale 4)Produit de 2 matrices; Puissances Exemple : on considère les matrices suivantes: a)A l’aide de la calculatrice, effectuer le produit de matrices AxB b)En déduire la règle de calcul du produit de 2 matrices, et à quelle condition sur les dimensions ce produit est-il possible c)Effectuer le produit BxA ; que peut-on.... »