Exercices sur les racines dans les complexes

« Exercice 3 Groupe B Soit P un polynôme de degré n dont tout les coefficients sont des nombres entiers Exercice 3 – Groupe B Question 1 Démontrer que toute racine entière de P est un diviseur de P(0) K est une racine entière de P(z) donc P(k) = 0. Donc : P(z)=(z-k)*Q(z), où Q(z) est un autre polynôme de degré (n-1) avec des coefficients réels. P(0)=(0 -k)*Q(z) P(0)= -K*Q(z) P(0 --------) = Q(0) Comme les coefficients de Q(0) sont entiers : Q(0)∈ℤ -K Donc, toutes racines entières de P est un diviseur de P(0) Exercice 3 – Groupe B Question 2 Que peut-on dire des racines entières de P lorsque P(0) est un nombre premier Si P(0) est un nombre premier, alors ses diviseurs ne peuvent être que {-P(0) ; -1 ; 1 ; P(0)} car on est dans (Propriété d’un diviseur d’un nombre premier) ℤ Or d’après la Q1, toute racine entière de P est un diviseur de P(0), donc logiquement, lorsque P(0) est un nombre premier les racines entières possibles de P sont {-P(0) ; -1 ; 1 ; P(0)} Exercice 3 – Groupe B Question 3 On considère le polynôme P défini sur ℂ par P(z)=z 3+6z 2+10z+3 A) Déterminer toutes les racines entières de P D’après la Q1, toutes les racines entières de P sont des diviseurs de P(0) Or ici P(0) = 3 Les diviseurs possibles sont donc {-3 ;-1;1;3} On test pour regarder si une ou plusieurs de ces valeurs possibles fonctionnent : P(-3)= 0 Donc -3 est une racine entière de P P(-1)=-2 ≠ 0 Donc -1 n’est pas une racine de P P(1)=20 ≠ 0 Donc 1 n’est pas une racine de P P(3)=3 ≠ 0 Donc 3 n’est pas une racine de P Alors, la seule racine entière de P(z) est -3 Exercice 3 – Groupe B Question 3 On considère le polynôme P défini sur ℂ par P(z)=z 3+6z 2+10z+3 B) En déduire toutes les racines de P dans ℂ On a trouvé que -3 était une racine entière de P, donc d’après la propriété du cours, P(z) peut se factoriser sous la.... »