Exercices MPSI

« Le Cassini des futurs MPSI August 15, 2013 1 Quelques denitions et notations 1.1 Relatives aux ensembles On etend les notations A[B et A\B comme suit: Pour tous ensembles A 1; A 2; : : : ; A n, on note n [ i =1 A ila reunion des A iet n \ i =1 A il'intersection des A i.  On appelle produit cartesien de deux ensembles Aet Bl'ensemble A B des couples ( a; b ) ou a2 A et b2 B.

On peut egalement etendre le produit cartesien a plus de deux ensembles.

Pour tous ensembles A 1; A 2; : : : ; A n, on note n Y i =1 A i l'ensemble des n-uplets ( a 1; a 2; : : : ; a n) ou, pour tout i, a i 2 A i.  Pour tous entiers m; n, on note [[ m; n]] =fk 2 Z; m k ng l'intervalle des entiers compris entre metn. Dans les denitions qui suivent, Eet Fdesignent des ensembles.  On note P(E ) ou 2 E l'ensemble des parties de E.  Soit Aune partie de E.

On note 1 A: E ! f 0;1 g et on appelle fonction caracteristique de A l'application denie par 1 A( x ) =  1 si x2 A 0 sinon .  On note F(E ; F ) ou FE l'ensemble des fonctions de E dans F.  Une fonction f:E ! Fest injective si et seulement si deux points quelconques de E distincts ont des images distinctes, c'est a dire 8(x; y )2 E2 ; x 6 = y) f(x ) 6 = f(y ).  Une fonction f:E ! Fest surjective si et seulement si tout point de Fa un antecedent par f, c'est a dire 8y 2 F; 9x 2 E ; y =f(x ).  Une fonction f:E ! Fest bijective si et seulement si elle est injective et surjective, c'est a dire si tout element de Fadmet un et un seul antecedent par f.

Si E=F, on dit que f est une permutation de E.  Un ensemble Eest dit ni s'il existe un entier naturel net une bijection f: [[1 ; n]]! E. Cet entier (dont on montre facilement l'unicite) est appele le cardinal de E et note card( E) ou jE j.

 Evidemment, on denit un ensemble inni comme un ensemble qui n'est pas ni. 1. »