Euclide.
Publié le 08/12/2021
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Euclide. en grec Eukleidês. mathématicien grec qui vécut vers 300 avant J.-C. et fut
probablement professeur à l'université d'Alexandrie. Ses Éléments (voir cet article)
contenaient toute la science mathématique de l'époque. Sa géométrie, chef-d'oeuvre de
déduction, est construite à partir de quelques définitions et postulats fondamentaux.
La géométrie euclidienne.
Elle regroupe l'ensemble de définitions et de propriétés d'abord exposé dans les Éléments
d'Euclide (voir cet article), puis développé par les « géomètres « jusqu'à la fin du
XIXe siècle. Les fondements de cette géométrie furent totalement élucidés en 1899 par
David Hilbert qui en a énoncé explicitement et exhaustivement les axiomes. Les voici
classés en cinq types.
Les axiomes d'incidence affirment que deux points appartiennent à une droite et une
seule, que toute droite contient au moins trois points et qu'il existe au moins trois points
non alignés.
Les axiomes d'ordre affirment que, étant donné trois points alignés, il y en a un (et un
seul) entre les deux autres, qu'en dehors d'un segment on peut trouver un (autre) point
sur la droite qu'il détermine, et que toute droite coupant un côté d'un triangle coupe aussi
l'un des deux autres (axiome de Pasch).
Les axiomes de congruence affirment l'existence d'une relation entre couples de points
(que l'on peut interpréter comme l'égalité des longueurs des segments qu'ils définissent) et
d'une relation entre triplets de points (que l'on peut interpréter comme l'égalité des angles
qu'ils définissent), de sorte que l'on puisse énoncer ce que l'on a longtemps appelé les
« cas d'égalité des triangles «.
Les axiomes de continuité affirment l'existence d'une bijection entre une droite et
l'ensemble des nombres réels, de sorte que le choix de deux points sur une droite
permette d'y repérer tout point par son abscisse (ce sont les axiomes d'Archimède et
l'axiome dit des « segments emboîtés «).
L'axiome des parallèles, ou cinquième postulat d'Euclide, est demeuré célèbre et affirme
que par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette
droite. Jusqu'au milieu du XIXe siècle, les mathématiciens ont tenté de démontrer ce
résultat à partir des autres postulats de la géométrie. La création de géométries non
euclidiennes et la nouvelle construction des mathématiques après Hilbert ont entièrement
éclairci le problème. Voir aussi Lobatchevski et parallèle.
L'espace vectoriel euclidien.
C'est l'espace vectoriel dans lequel on a défini un produit scalaire (voir scalaire) pouvant
caractériser l'angle de deux vecteurs unitaires, la norme associée mesurant la longueur des
vecteurs. Tout espace vectoriel de dimension 2 est isomorphe au plan vectoriel u2, muni
du produit scalaire [(x, y), (x', y')] _ xx' + yy', et donc de la norme
(on généralise sans difficulté à une dimension finie quelconque).
En passant à l'espace affine correspondant, on obtient un espace affine euclidien, dans
lequel on a défini les notions d'angle et de distance ; on retrouve alors exactement la
géométrie euclidienne classique comme un cas particulier d'espace entièrement construit à
partir des propriétés des nombres réels. Voir affine (géométrie).
Division euclidienne : voir division.
Algorithme d'Euclide : voir algorithme.
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
affine (géométrie)
Alexandrie
algorithme
analytique
arithmétique
axiome
division - 1.MATHÉMATIQUES
Éléments d'Euclide
Eudoxe de Cnide
géométrie
Hilbert David
Le Gendre Adrien Marie
Lobatchevski Nikolaï Ivanovitch
mathématiques
parallèle - 1.MATHÉMATIQUES
postulat
scalaire [2]
sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes
sciences (histoire des) - La lumière - Ibn al-Haytham et l'inversion du regard
sciences (histoire des) - La matière - Le calcul infinitésimal
Les livres
Euclide, page 1745, volume 4
Euclide. en grec Eukleidês. mathématicien grec qui vécut vers 300 avant J.-C. et fut
probablement professeur à l'université d'Alexandrie. Ses Éléments (voir cet article)
contenaient toute la science mathématique de l'époque. Sa géométrie, chef-d'oeuvre de
déduction, est construite à partir de quelques définitions et postulats fondamentaux.
La géométrie euclidienne.
Elle regroupe l'ensemble de définitions et de propriétés d'abord exposé dans les Éléments
d'Euclide (voir cet article), puis développé par les « géomètres « jusqu'à la fin du
XIXe siècle. Les fondements de cette géométrie furent totalement élucidés en 1899 par
David Hilbert qui en a énoncé explicitement et exhaustivement les axiomes. Les voici
classés en cinq types.
Les axiomes d'incidence affirment que deux points appartiennent à une droite et une
seule, que toute droite contient au moins trois points et qu'il existe au moins trois points
non alignés.
Les axiomes d'ordre affirment que, étant donné trois points alignés, il y en a un (et un
seul) entre les deux autres, qu'en dehors d'un segment on peut trouver un (autre) point
sur la droite qu'il détermine, et que toute droite coupant un côté d'un triangle coupe aussi
l'un des deux autres (axiome de Pasch).
Les axiomes de congruence affirment l'existence d'une relation entre couples de points
(que l'on peut interpréter comme l'égalité des longueurs des segments qu'ils définissent) et
d'une relation entre triplets de points (que l'on peut interpréter comme l'égalité des angles
qu'ils définissent), de sorte que l'on puisse énoncer ce que l'on a longtemps appelé les
« cas d'égalité des triangles «.
Les axiomes de continuité affirment l'existence d'une bijection entre une droite et
l'ensemble des nombres réels, de sorte que le choix de deux points sur une droite
permette d'y repérer tout point par son abscisse (ce sont les axiomes d'Archimède et
l'axiome dit des « segments emboîtés «).
L'axiome des parallèles, ou cinquième postulat d'Euclide, est demeuré célèbre et affirme
que par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette
droite. Jusqu'au milieu du XIXe siècle, les mathématiciens ont tenté de démontrer ce
résultat à partir des autres postulats de la géométrie. La création de géométries non
euclidiennes et la nouvelle construction des mathématiques après Hilbert ont entièrement
éclairci le problème. Voir aussi Lobatchevski et parallèle.
L'espace vectoriel euclidien.
C'est l'espace vectoriel dans lequel on a défini un produit scalaire (voir scalaire) pouvant
caractériser l'angle de deux vecteurs unitaires, la norme associée mesurant la longueur des
vecteurs. Tout espace vectoriel de dimension 2 est isomorphe au plan vectoriel u2, muni
du produit scalaire [(x, y), (x', y')] _ xx' + yy', et donc de la norme
(on généralise sans difficulté à une dimension finie quelconque).
En passant à l'espace affine correspondant, on obtient un espace affine euclidien, dans
lequel on a défini les notions d'angle et de distance ; on retrouve alors exactement la
géométrie euclidienne classique comme un cas particulier d'espace entièrement construit à
partir des propriétés des nombres réels. Voir affine (géométrie).
Division euclidienne : voir division.
Algorithme d'Euclide : voir algorithme.
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
affine (géométrie)
Alexandrie
algorithme
analytique
arithmétique
axiome
division - 1.MATHÉMATIQUES
Éléments d'Euclide
Eudoxe de Cnide
géométrie
Hilbert David
Le Gendre Adrien Marie
Lobatchevski Nikolaï Ivanovitch
mathématiques
parallèle - 1.MATHÉMATIQUES
postulat
scalaire [2]
sciences (histoire des) - L'espace - Géométries non euclidiennes
sciences (histoire des) - La lumière - Ibn al-Haytham et l'inversion du regard
sciences (histoire des) - La matière - Le calcul infinitésimal
Les livres
Euclide, page 1745, volume 4
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