Est-il vrai que les mathématiques soient moins une science à part que l'instrument de toutes les sciences ?

« Est-il vrai que les mathématiques soient moins une science à part que l'instrument de toutes les sciences? INTRODUCTION. — Par l'étude des sciences, d'un point de vue positif.

Auguste COMTE est amené à n'accorder aux mathématiques aucune place spéciale dans sa classification des sciences.

Il estime qu'elle « est moins une partieconstituante de la philosophie naturelle » (sciences de la nature) que « la vraie base fondamentale de toute cettephilosophie » bien qu'elle soit, à vrai dire, « à la fois l'une et l'autre ».On peut reconnaître que les mathématiques sont un instrument essentiel, sinon l'instrument unique, de toutes lessciences; mais a-t-on le droit de leur dénier le titre de sciences ? Les Grecs la regardaient comme la science parexcellence; de nos jours, dans quel sens leur donnerait-on raison ?L'histoire des sciences nous montre 'l'origine expérimentale des mathématiques avec des procédés empiriques decalcul (logistique) et des méthodes inductives de recherche (propriétés des nombres et des figures).

Cette originecommune avec les autres sciences ne suffit pas à les classer parmi les sciences expérimentales.Nous montrerons l'originalité des mathématiques comme science idéale et les services qu'elle rend et peut rendreaux sciences positives, non seulement comme instrument logique ou de « calcul » (A.

COMTE), mais en tant quescience abstraite des possibles. I.

— LA MATHÉMATIQUE EST UNE SCIENCE A PART. La mathématique pure — qu'il ne faut pas confondre avec ses applications — est vraiment une science qui a sonobjet, sa méthode propre et son but bien défini. A.

Son objet. — Elle traite, à un certain niveau d'abstraction, de l'ordre, de la grandeur (quantité) et de la mesure continue ou discontinue.

Ses êtres, suggérés par l'observation sensible, ne sont pas seulement abstraits, commecertains concepts, mais construits, disons mieux créés sur un mode idéal, avec des conditions d'existence propre quiles rendent souvent irréalisables en pratique, telles que les surfaces et les lignes sans épaisseur,, les pointsmatériels.

Les êtres mathématiques, leurs cadres et toutes leurs relations forment un univers à part dans lequel les,lois sont vraies nécessairement (vérité idéale), sans autres conditions que celles qui les ont fait naître. B.

Sa méthode propre. — Cette méthode, qui lui appartient en propre et la faisait regarder par les anciens comme la science par excellence, est la méthode « déductive »; c'est une suite de raisonnements a priori qui ne fait àaucun moment appel à l'expérience.

Les « intuitions », s'il y en a, n'atteignent que ses objets ou relations del'univers idéal; on peut parler d'intuition mathématique, abstraite et idéale.

Certains mathématiciens qui visent à larigueur cherchent à les déduire en exprimant les « axiomes » qu'elles introduisent dans les raisonnements (B.RUSSELL, HILBERT). Sans doute, les sciences positives font, elles aussi, des déductions(syllogistiques ou mathématiques); mais leur méthode caractéristique estl'induction dont le point de départ et le point final est le contact avecl'expérience concrète. C.

Son but propre.

— La mathématique ne vise qu'à la création de son univers idéal, et à la connaissance des êtres et des relations de cet univers.Cette science idéale se suffit à elle-même, réserve faite de son origine, dansson développement indéfini.

C'est cet aspect qui a pu faire croire à desrationalistes qu'elle était une pure création de l'esprit (KANT).En résumé, la mathématique pure est une science idéale et abstraite valableinconditionnellement dans son univers.

On ne peut affirmer a priori qu'elle soitune science du « réel », puisque les mots vérité, nécessité, universalité, n'ontpour elle qu'un sens idéal.

Ils pourraient fort bien n'en avoir point de réel;néanmoins, nous allons montrer qu'elle constitue une science des possibles.. »