Essentiels du programme de seconde pour réussir en spécialité mathématiques en première générale

« Essentiels du programme de seconde pour réussir en spécialité mathématiques en première générale • Nombres et calculs numériques - savoir calculer avec les fractions, avec les puissances et les racines carrées - savoir développer et factoriser avec ou sans identité remarquable - connaître les priorités opératoires - connaître la définition de la valeur absolue d’un nombre réel • Signes, équations et inéquations - connaitre les différents intervalles - savoir résoudre des équations du type 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 et 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 - savoir résoudre une équation produit - savoir dresser un tableau de signes d'un produit ou d'un quotient - savoir résoudre une inéquation • Fonctions par lecture graphique - savoir déterminer l'image d'un nombre réel - savoir déterminer les éventuels antécédents d'un nombre réel - savoir dresser un tableau de variations - savoir dresser un tableau de signes - ne pas confondre tableau de variations et tableau de signes - savoir déterminer un éventuel extremum - savoir résoudre des équations du type 𝑓(𝑥) = 𝑘 et des inéquations du type 𝑓(𝑥) > 𝑘 Par le calcul - savoir déterminer l'image d'un nombre réel - savoir déterminer les éventuels antécédents d'un nombre réel • Fonctions affines - savoir reconnaître une fonction affine, linéaire et constante - savoir déterminer par lecture graphique ou par le calcul le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine - connaitre le signe d’une fonction affine - connaitre les variations d’une fonction affine • Fonctions de référence - connaître l’ensemble de définition, le tableau de variations et la courbe représentative des fonctions carrée, inverse et racine carrée • Équation de droites - savoir tracer une droite à partir de son équation réduite ou d’une équation cartésienne - savoir déterminer par lecture graphique une équation réduite de droite - savoir déterminer par le calcul une équation cartésienne de droite ou l’équation réduite d’une droite - connaître la définition d’un vecteur directeur d’une droite - savoir résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues • Proportions et évolutions - savoir déterminer le coefficient multiplicateur associé à une évolution, à des évolutions successives et à l’évolution réciproque d’une évolution • Probabilités - connaître la définition de 𝐴̄, 𝐴 ∪ 𝐵et 𝐴 ∩ 𝐵et déterminer leurs probabilités - savoir faire un arbre de probabilités • Statistiques - déterminer les paramètres d’une série quantitative ( moyenne, médiane et quartiles ) • Algorithme - savoir comprendre un algorithme - savoir programmer des fonctions - savoir programmer avec une instruction conditionnelle ( if ) - savoir programmer avec une boucle ( for, while) • Géométrie plane - déterminer les coordonnées du milieu d'un segment - déterminer la longueur d'un segment dans un repère orthonormal - savoir déterminer la longueur de la diagonale d'un carré et la longueur de la hauteur d'un triangle équilatéral • Vecteurs - connaître les éléments caractérisant un vecteur (direction, sens , norme) - placer des points définis par des égalités vectorielles ⃗⃗⃗⃗⃗ , [𝐴𝐵] - ne pas confondre 𝐴𝐵 , 𝐴𝐵 - connaître la définition de deux vecteurs colinéaires et savoir représenter 𝑘𝑢 ⃗ - connaître la relation de Chasles • Avec des coordonnées - déterminer les coordonnées d'un vecteur par le calcul et par lecture graphique - savoir calculer le déterminant de deux vecteurs et savoir l'utiliser pour démontrer que des droites sont parallèles ou que des points sont alignés - savoir démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme Exercices Exercice 1 : à faire sans calculatrice 1) Effectuer les calculs suivants en donnant le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. 21 49 5 16 35 𝐴 = 49 + 77 𝐵 = 3 − 45 × 8 1 7 5 1 𝐶 = (8 − 1)(1 − 11)(7 + 3) 𝐸= 1 2 − 3 5 2 1 − 3 2 35 7 5 1 𝐹 = 3 − 3 (3 + 4) 2) Simplifier les expressions suivantes : 𝐺 = 42 × 3−4 × (32 )6 × (4−3 )2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≠ 0 , 𝐼 = 𝐷= 7 4 2−4 × 𝑥 7 22 × 𝑥 3) Simplifier les nombres suivants : 𝐾 = 2√20 − √45 + √125 𝑀 = √700 + 2√75 − 3√28 + √48 22 ×33 𝐻 = 2−3 ×32 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑥 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑦 ≠ 0 , 𝐽 = 𝑥 4 × 𝑦 −2 𝑦 −1 × 𝑥 3 𝐿 = 7√3 − 3√48 + 5√12 𝑁 = (3√2 − 1)2 − (2√2 + 1)(√2 − 1) Exercice 2 : 1) Développer et réduire les expressions suivantes, en utilisant si possible une identité remarquable : 4 𝐴(𝑥) = (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 1) 𝐹 (𝑥 ) = − (−6𝑥 + 9) 𝐵(𝑥) = (𝑥 − 7)(𝑥 + 7) 3 𝐺(𝑥)) = (𝑥 + 5)2 𝐶(𝑥) = (2𝑥 − 5)2 𝐻(𝑥) = (3𝑥 − 5)(3𝑥 + 5) 𝐷(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1) 𝐼(𝑥) = (−3𝑥 + 1)(2𝑥 − 4) − (2𝑥 + 1)2 𝐸(𝑥) = 𝑥(1 + 8𝑥)(2𝑥 − 3) 𝐽(𝑥) = (−5𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 𝑎) 2) Factoriser les expressions suivantes, en utilisant si nécessaire une identité remarquable : 𝐴(𝑥 ) = 3𝑥 (5𝑥 + 3) + 5𝑥 + 3 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 𝐵(𝑥) = (𝑥 − 2)(2𝑥 + 3) − (𝑥 − 2)(2𝑥 + 2) 𝐺(𝑥) = 16𝑥 2 − 81 𝐶(𝑥) = (2𝑥 − 1)(2 + 𝑥) + 3(2 + 𝑥) 𝐻(𝑥) = (2𝑥 − 5)² − 9 2 𝐷(𝑥 ) = 𝑥 − 10𝑥 + 25 𝐼(𝑥) = (−2𝑥 + 3)2 − (6𝑥 + 1)2 2 𝐸(𝑥) = 4𝑥 + 20𝑥 + 25 Exercice 3 : Soit f la fonction définie par 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥². 1.

Calculez les images par f des réels 0; 2 ; −4. 2.

Vérifiez que 4 a deux antécédents par f.

Pourquoi − 4 n'est-il l'image d'aucun réel ? 3.

Quels sont les réels qui ont 54 pour image par f ? Exercice 4 : Soit g la fonction définie par 𝑔(𝑥 ) = −𝑥 2 + 3𝑥 − 3. 1.

Calculez les images par 𝑔 des réels 0; 2 ; −3. 1 2.

Calculer 𝑔 (3) , 𝑔(√2) et 𝑔(√2 + 1). Exercice 5 : Soit 𝑓 la fonction définie par la courbe ci-dessous : Quel est l’ensemble de définition de f ? Quel est l’image de −3 ? de 5 ? Quels sont les antécédents de 2 ? Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓. Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes : a) 𝑓( 𝑥 ) = 4 b) 𝑓(𝑥) = −1 c) 𝑓(𝑥) > 1 6) Déterminer le signe de f(x). 1) 2) 3) 4) 5) d) 𝑓(𝑥) ≤ 3 Exercice 6 : Résoudre les équations suivantes : 1) −2 + 3𝑥 = −2𝑥 + 7 1 3 −2 2) 2 𝑥 − 4 = 3 𝑥 + 1 1 7) (5𝑥 + 15)(−𝑥 + 7) = 0 8) (2𝑥 +.... »