équivalent.

Ci-dessous un extrait traitant le sujet : équivalent.. Ce document contient 423 mots. Pour le télécharger en entier, envoyez-nous un de vos documents grâce à notre système d’échange gratuit de ressources numériques ou achetez-le pour la modique somme d’un euro symbolique. Cette aide totalement rédigée en format pdf sera utile aux lycéens ou étudiants ayant un devoir à réaliser ou une leçon à approfondir en : Encyclopédie

---

équivalent. adj. MATHÉMATIQUES : deux objets mathématiques sont dits équivalents
lorsqu'ils ont une même caractéristique, c'est-à-dire lorsqu'il existe une fonction prenant
pour chacun d'entre eux la même valeur. Précisément, une relation binaire R dans un
ensemble E est appelée relation d'équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive.
Lorsque (x,y) sont liés par une relation d'équivalence, on dit que les éléments x et y sont
équivalents. On écrit souvent alors :
x ~ y ou x B y [R]
et on lit « x est congru à y modulo R «.
Exemple fondamental : soit f une application de E dans un ensemble F. La relation binaire
définie par les couples (x, y) d'éléments de E tels que f (x) = f (y) est une relation
d'équivalence, dite associée à f . L es éléments de E se répartissent alors en classes (dites
« classes d'équivalence «) à l'intérieur desquelles tous les éléments sont équivalents les uns
aux autres. Les classes d'équivalence constituent un nouvel ensemble, appelé quotient de E
par R et noté E/R.
Les exemples de relations d'équivalence abondent dans toutes les branches des
mathématiques et dans leurs applications. La relation binaire définie par les couples de droites
ayant même direction est une relation d'équivalence : c'est le parallélisme.
La plupart du temps, on montre qu'une relation binaire est une relation d'équivalence en
prouvant qu'elle est associée à une application f convenablement choisie.

Fonctions équivalentes.
Un exemple classique de relation d'équivalence est fourni par l'analyse. Soient f et g des
fonctions numériques définies sur un intervalle I, ne s'annulant pas sur cet intervalle. On dit
que f et g sont équivalentes au voisinage d'un point a si le rapport f/g admet 1 pour limite
au point a. (Le point a peut être un élément de I ou une extrémité de I, éventuellement +
¥ ou - ¥ .) On note alors f ~ g. La relation binaire ainsi définie est une relation d'équivalence
et signifie que la différence f - g est négligeable devant g : f - g = o(g). Voir Landau.

Matrices équivalentes.
Lorsque deux matrices M et M' peuvent représenter la même application (à des
changements de bases près), on dit que M et M' sont équivalentes ; il existe alors, et alors
seulement, deux matrices inversibles P et Q telles que M' = PMQ. L'application associée à
cette relation d'équivalence est le rang : deux matrices sont équivalentes si et seulement si
elles ont même rang (voir ce mot).
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
classe - 3.MATHÉMATIQUES
congruence
fonction - 2.MATHÉMATIQUES
Landau Edmund
matrice - 2.MATHÉMATIQUES
rang
réflexive (relation)
symétrique (relation)
transitive (relation)