équation différentielles

« Équations différentielles du premier ordre Vous trouverez ici de brefs résumés et exemples sur les applications concrètes des équations différentielles du premier ordre : Ø variation de température Ø désintégration radioactive Ø mouvement rectiligne Ø circuits électriques; circuits R-C, circuits R-L Ø problèmes de mélanges. Variation de température La variation de la température d'un corps, ou d’un liquide, laissé dans un environnement à une température ambiante constante, suit la loi de Newton : dT = k (T − TA ) dt TA est la température ambiante constante. k est une constante de proportionnalité qui dépend des conditions expérimentales. Cette constante est négative. t est le temps, habituellement donné en minutes. T est la température du corps.

Cette température varie; on pourrait la noter T(t). On suppose que la température est maintenue homogène dans le liquide, ou le corps. On résout cette équation différentielle en utilisant la séparation des variables : dT = k dt T − TA ln T − TA = k t + C1 T − TA = C2 ek t T − TA = C e k t , avec C = C2 si T − TA > 0 (refroidissement) C = −C2 si T − TA < 0 (réchauffement) T = TA + C e k t Exemple 1 : Un liquide, chauffé initialement à 90º C, est laissé dans une pièce à 21º C.

Au bout de 4 minutes, la température de ce liquide est à 82º C. Trouver une formule qui donne la température de ce liquide en fonction du temps. Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 1 D'après Newton, dT = k (T − 21) avec T ( 0 ) = 90 et T ( 4 ) = 82 . dt Donc T = 21 + C e k t Utilisons la condition initiale T ( 0 ) = 90 pour déterminer la valeur de C : 90 = 21 + C ⇒ C = 69 et T = 21 + 69ek t Utilisons maintenant la deuxième condition, T ( 4 ) = 82 , pour trouver ce que vaut k : 82 = 21 + 69e 4 k ⇒ e4k = 61 1  61  ⇒ k = ln   = −0,0308 69 4  69  Nous avons donc trouvé tout ce qu’il fallait pour écrire T ( t ) = 21 + 69e −0,0308t . Une autre façon d'écrire cette équation vient du fait que e On a donc T ( t ) = 21 + 69e kt  61  = 21 + 69    69  t 4k 61 = ⇒ 69  61  e =   69  k 1 4 4 Exemple 2 : Un verre d’eau, à 10º C, est sorti du réfrigérateur et déposé sur une table dans une pièce où il fait 31º C.

Après 10 minutes, l’eau dans le verre est à 17º C. Combien de temps après la sortie du réfrigérateur l’eau sera-t-elle à 25º C? dT = k ( T − 31) ; ce qui donne T = 31 + C e k t . dt Avec T ( 0 ) = 10, on trouve 10 = 31 + C ⇒ C = −21 et T = 31 − 21e k t D’après Newton, T (10 ) = 17, donc 17 = 31 − 21e10 k ⇒ e10 k = 14 2 1 2 = ⇒ k = ln   = −0, 0405 21 3 10  3  Nous avons donc T ( t ) = 31 − 21e −0,0405t Il reste à trouver t pour que T = 25. 25 = 31 − 21e −0,0405t ⇒ t = 30, 9 Ça prendra donc environ 31 minutes après la sortie du réfrigérateur pour que l’eau du verre soit à 25º C. liste des sujets Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 2 Désintégration radioactive La plupart des éléments radioactifs se décomposent en d’autres éléments, radioactifs ou pas, à une vitesse qui est proportionnelle à la quantité restante de cet élément initial. Soit Q(t) la quantité d’un certain élément radioactif au temps t.

Alors cette quantité suit la relation suivante : dQ = − k Q, avec Q ( 0 ) = Q0 dt où k est une constante positive (–k est négative) et Q0 est la quantité initiale de cet élément. On résout cette équation soit en séparant les variables, soit comme une équation linéaire. 1º En séparant les variables 2º Équation linéaire dQ dQ = − k dt +kQ =0 dt Q − k dt ln ( Q ) = − k t + C1 Q=e ∫ 0 dt Q = C e−k t Q =Ce −k t ∫ Avec la condition initiale Q ( 0 ) = Q0 , on trouve C = Q0 .

Donc Q = Q0e − k t . Exemple : La demi-vie du polonium-218 est presque exactement 3 minutes. a) Quelle proportion de la quantité initiale restera-t-il après 5 minutes? b) Combien de temps est-il nécessaire pour que 99% du polonium-218 soit décomposé? On pose d'abord l'équation de la décomposition radioactive dQ = − k Q. dt On résout et on obtient Q = Q0e − k t . Pour trouver la valeur de k, on utilise la condition initiale sur la demi-vie : 1 1 1 Q ( 3) = Q0 ⇒ Q0 = Q0e −3k ⇒ k = ln ( 2 ) 2 2 3 Donc Q ( t ) = Q0 a) Q ( 5) = Q0 e t − ln ( 2) e 3 ou Q ( t ) = Q0 ( 2 ) −t 3  1 = Q0    2 t 3 5 − ln ( 2 ) 3 Q0 5 − ln ( 2 ) e 3 5 − ln ( 2) e 3 = ≈ 0,315 Q0 Après 5 minutes, il reste environ 31,5% de la quantité initiale. En proportion, Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 3 b) On cherche t pour que Q ( t ) = 0, 01Q0 . t − ln ( 2 ) 0, 01Q0 = Q0 e 3 t ln ( 0, 01) = − ln ( 2 ) 3 ln ( 0, 01) t = −3 ≈ 19,93 ln ( 2 ) Ça prend donc près de 20 minutes pour que 99% du polonium-218 se décompose. liste des sujets Gilles Picard et Chantal Trottier, 04-02-06 4 Mouvement rectiligne L’étude du mouvement rectiligne comprend tout mouvement qui se passe le long d’une droite, que cette droite soit horizontale, verticale ou oblique. Dans tous les cas, la 2e loi de Newton s’applique : La somme de toutes les forces qui s’appliquent à un objet est proportionnelle à l’accélération de son mouvement.

De plus, la constante de proportionnalité est égale à la masse de l’objet. F = ma où F est la somme des forces.... »