équation.

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équation. n.f., égalité dans laquelle figurent des quantités inconnues. Une équation peut
toujours se mettre sous la forme f(x) = k, où f est une application d'un ensemble E vers un
ensemble F, et où k est un élément donné de f. L'élément x de E est appelé inconnue. Les
éléments vérifiant la relation précédente sont appelés solutions de l'équation. On peut
toujours interpréter géométriquement les solutions en étudiant l'intersection du graphe de la
fonction f avec l'horizontale x = k.
Examinons deux exemples fondamentaux où les ensembles E et F sont tous deux égaux
à l'ensemble u des nombres réels.

Équation du premier degré.
On appelle ainsi une équation de la forme :
ax + b = 0, a ¹ 0.
C'est le cas où la fonction f est affine, et où la fonction g est nulle. Il y a une solution et
une seule,
L'équation homographique :

se ramène à la précédente. En effet, en

supposant que cx + d est non nul, on se ramène à : ax + b = k(cx + d),
soit encore : (a - kc)x + b - kd = 0.
Ainsi, lorsque a - kc ¹ 0, il y a une solution et une seule :

On voit que la solution x dépend homographiquement du second membre k.

Équation du second degré.
Examinons d'abord un cas particulier fondamental :
x2 = k,
où k est un nombre réel. Rappelons que, si k est strictement positif, il y a deux
solutions :
x' = ä k
x" = - ä k.
(Voir racine). Si k = 0, il y a une solution et une seule, à savoir 0. Enfin, si k est
strictement négatif, il n'y a pas de solution réelle.
Passons au cas général :
ax2 + bx + c = 0, a ¹ 0.
Le cas où a = 0 étant écarté, car on retrouve une équation du premier degré, mettons
a en facteur :

Or :
L'équation proposée se ramène donc à :

Le nombre d = b2 - 4ac s'appelle discriminant de l'équation. D'après ce qui précède,
nous devons distinguer trois cas :
Si d > 0, il y a deux racines :

Si d = 0, il y a une racine double,

Si d < 0, il n'y a pas de racines réelles. En revanche, il y a deux racines dans r, qui
sont :

Dans tous les cas, on a :

(relations entre les coefficients et

les racines).
Exemples : x2 - 3x + 2 = 0 a deux racines, x' = 1, x" = 2.
2 x2 - 8x + 8 = 0 a une racine double, x' = x" = 2.
x2 + x + 1 = 0 n'a pas de racine réelle. Elle a deux racines complexes :

Pour d'autres emplois du mot équation, voir courbe. différentielle (équation).
polynôme et surface.
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Les corrélats
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