en quoi la notion de dérivée permet elle d’expliquer la forme de certains objets de la vie de tous les jours ? Grand oral

« INTRO Dès la classe de seconde, on étudie de manière plus approfondie la notion de fonction.

Les fonctions permettent de modéliser des situations problèmes.

La résolution de ces problèmes( qui peuvent être en physique en SVT, en économie..) demande une étude des variations de la fonction.

C’est donc pour cela que dès la classe de première, on nous apprend le concept de dérivation.

L’invention de la notion de dérivée a donc été une étape très importante dans l’histoire des mathématiques. Dans un premier temps, je ferais un bref rappel historique, puis je redéfinirai ce qu’est la dérivée d’une fonction et son utilité. Enfin, je vous présenterai une exemple qui permettra de répondre à l’intitulé de l’oral : en quoi la notion de dérivée permet elle d’expliquer la forme de certains objets de la vie de tous les jours ? HISTOIRE Tout d’abord, le concept de dérivée ne s’est pas crée en un jour, il a été le fruit de nombreuses recherches par différents scientifiques du monde entier , mais tout d’abord revenons en au commencement. Dans la seconde moitié du 17émé siècle, deux grands scientifiques, Newton et Leibniz se lancent le même objectif, trouver la pente d’une courbe en un point, finalement leurs méthodes bien que différentes arrivent à un résultat équivalent. Newton en plus d’être un mathématicien est aussi un grand physicien et astronome et il s’intéresse particulièrement aux mouvements des corps célestes et de leur vitesse instantanée, c’est à dire leur vitesse en un point.

Si l’on prend une courbe Cf, Newton assimile les abscisses de la courbe à différents temps, les ordonnées à des positions dans l’espace et la pente de la courbe à la vitesse des corps célestes. (car pente courbe= ordonnées/abscisses et vitesse = distance/temps.) Mais pour calculer la pente d’une courbe il nous faut 2 points or Newton n’avait lui que la position d’un point à sa disposition. puisqu’on rappelle que le calcul de la pente d’une courbe est égal à la différence des ordonnées de deux points divisé par la différences de leurs abscisses. Ce qui donne yB–yA / xB-xA. Pour faire face à ce problème, Newton va donc désigner deux points A et B et il va faire tendre la position du point B vers celle du point A afin que la distance entre A et B soit négligeable ( sans jamais être égale à 0 car on ne peut pas diviser un nombre par 0) ce qui revient donc à calculer la pente de la courbe en A, cette méthode là se nomme le calcul infinitésimal. Leibniz va lui aussi se rendre compte que pour obtenir la pente d’une courbe en un point , il faut réduire au maximum la distance entre les abscisses de A et de B et entre leur ordonnées. C’EST QUOI LA DÉRIVÉE + USAGES Aujourd’hui de nombreuses résolutions de problèmes font appel à la notion de variation d’une fonction. Mais alors comment faire pour déterminer les variations d’une fonction ? Pour cela, il faut revenir au concept de tangente, une tangente à un point est une droite qui touche la courbe au voisinage de ce point. Lorsque la fonction est croissante alors le coefficient directeur de la tangente est positif et vice versa lorsque la courbe est décroissante le coefficient directeur de la tangente est négatif. L’allure de la courbe Cf peut donc être donnée par l’allure des tangentes à la courbe. Pour déterminer les variations d’une fonction, il faudrait donc déterminer le coefficient directeur de toutes les tangentes associées à la courbe de cette fonction. Pour calculer le coefficient directeur des tangentes, on reprend la notion de calcul infinitésimal, c’est à dire qu’on va nommer un point B d’abscisse a et un point M d’abscisse a+h, h étant une longueur qui va tendre vers 0 afin d’approcher au maximum le coefficient directeur de la tangente en B. Ce calcul revient à calculer la limite du taux de variation et il s’écrit : lim f(a+h) – f(a) (=différence ordonnées) g h 0 (a+h) – a (= différence abscisses) Ce qui fait si on simplifie : lim f(a+h) – f(a). h 0 h Si le résultat de ce calcul est un nombre réel, il exprimera le coefficient directeur de la tangente à l’abscisse a mais aussi le nombre dérivé noté f’(a) et la fonction f est dite dérivable en a. La dérivée d’une fonction f’ est donc la fonction qui pour chaque abscisse a de la fonction f associe le coefficient directeur de la tangente en a. Ici, on va s’intéresser à l’usage de la dérivée et de la tangente dans l’étude de minimums et de maximums. En effet lorsque qu’une fonction f atteint un maximum ou un minimum en un point d’abscisse x, sa courbe change de variation. Donc, la tangente de la courbe au point d’abscisse x sera horizontale et son coefficient directeur sera égal à 0. Or on a dit plus tôt que le coefficient directeur de la tangente en un point x était égal à la dérivée de la fonction en x.

Donc lorsque la fonction f change de variations et atteint un extremum, la dérivée de la fonction est égale à 0. Cette propriété est très importante puisqu’elle permet de calculer le minimum ou le maximum d’une fonction assez facilement simplement en calculant le signe de sa dérivée. L’usage de cette propriété est assez fréquent dans le secteur de l’industrie, en effet les industriels vont modéliser des fonctions et chercher à déterminer leurs extremums afin de minimiser les.... »