Divisibilité / Nombres premiers

« Chap 2.4 Divisibilité / Nombres premiers I Rappel sur la division euclidienne dans II Multiples et diviseurs dans Définitions : a et b sont deux entiers relatifs, ▪ b est un multiple de a signifie qu’il existe un entier relatif k tel que b = k a ▪ si a 0, a est un diviseur de b si et seulement si le reste de la division euclidienne de b par a est nul ▪ si a 0, a est un diviseur de b si et seulement si b est un multiple de a. Exemples : -56 est un multiple de 7 car et 7 est un diviseur de -56 ; -8 aussi. Les diviseurs de -12 dans Z sont -12 ; -6 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12 0 est multiple de tout entier relatif a car quel que soit a , 1 et -1 sont des diviseurs de tout entier relatif a car quel que soit a , Propriété : La somme de deux multiples de a est aussi un multiple de a . Dem : b et b’ sont des multiples de a donc il existe 2 entiers relatifs k et k’ tel que b = k a et b’ = k’ a b+b’= k a + k’ a = (k+k’)a et k+k’ est un entier relatif donc b+b’ est un multiple de a . Définitions : ▪ Un nombre entier n est pair si et seulement si il existe un entier k tel que ▪ Un nombre entier n est impair si et seulement si il existe un entier k tel que +1 Méthode pour trouver tous les diviseurs d’un nombre Pour n’oublier aucun diviseur, on essaie tous les nombres en commençant par 1, 2, 3 ... Chaque division de reste nul nous donne quatre diviseurs : le diviseur, le quotient et leurs opposés. Exemple : trouver tous les diviseurs positifs de 32 32 : 1 = 32 32 = 1 32 donc 1 et 32 sont des diviseurs de 32 32 : 2 = 16 32 = 2 16 donc 2 et 16 sont des diviseurs de 32 32 : 3 = 10 reste 2 32 = 3 10 + 2 donc 3 n’est pas un diviseur de 32 32 : 4 = 8 32 = 4 8 donc 4 et 8 sont des diviseurs de 32 32 : 5 = 6 reste 2 32 = 5 6 + 2 donc 5 n’est pas un diviseur de 32 Tous les diviseurs ont déjà été trouvés dès qu’on a testé tous les nombres inférieurs à . La liste des diviseurs de 32 est donc : -32 ; -16 ; -8 ; -4 ; -2 ; -1 ;1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 et 32 III Nombres premiers dans , décomposition et fraction irréductible. »