déterminant.

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déterminant. n.m.
1. GRAMMAIRE :
classe spécifique d'éléments linguistiques dont la fonction est de marquer la détermination
du nom et, par là, d'en permettre l'utilisation dans le discours. Le français comporte de
nombreux déterminants : articles, démonstratifs, possessifs, interrogatifs-exclamatifs,
numéraux, indéfinis. Dans les langues sans déterminants (par exemple le latin), le nom est
autodéterminé (de la même façon que le nom propre en français).
Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
article
cardinal [1]
démonstratif
n om
nom propre
personne - 2.GRAMMAIRE

2. MATHÉMATIQUES :
fonction de plusieurs vecteurs dont la valeur est un nombre caractérisant l'orientation et la
mesure de la figure formée par ces vecteurs. Ainsi, le déterminant de trois vecteurs a pour
valeur absolue le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs et pour signe
celui de l'orientation de leur trièdre. Plus généralement, soit une base Ô1, Ô2, ..., Ôn dans un
espace vectoriel de dimension n ; le déterminant de n vecteurs est la fonction qui prend
pour valeur un nombre dépendant linéairement de ces vecteurs : nul si deux des vecteurs
sont égaux, et égal à 1 pour les n vecteurs de la base ; on dit que la fonction
« déterminant « est une application « multilinéaire alternée de n vecteurs «.

Déterminant en dimensions 2 et 3.
Dans u2, le déterminant de deux vecteurs (x, y) et (x', y') est noté

, et est égal à

xy'- x'y. Sa valeur absolue est égale à l'aire du parallélogramme construit sur les deux
vecteurs.

Dans u3, le déterminant de trois vecteurs (x, y, z), (x', y', z') et (x", y", z") est noté

et est égal à :
x(y'z" - z'y") - y(x'z" - x"z') + z(x'y" - y'x").

On l'appelle aussi produit mixte des trois vecteurs (voir produit). Le calcul d'un
déterminant se généralise dans un sans difficulté (voir pivot [méthode du]).

Propriétés.

Pour que n vecteurs de un soient indépendants (et forment donc une base de un), il
faut et il suffit que leur déterminant soit non nul. M étant la matrice (carrée) d'une
application f de un dans un,

l'équation f (¯) = < s'écrit sous la forme d'un système d'équations où les inconnues
sont les coordonnées de ¯.
Une condition nécessaire et suffisante pour que ce système ait une solution et une
seule est que le déterminant des vecteurs colonnes de M soit différent de zéro ; le
système est alors dit « de Cramer «. Voir aussi linéaire et rang.

Déterminant d'un endomorphisme.

Soit f un endomorphisme (c'est-à-dire une application linéaire de un dans lui-même) ;
le déterminant de f , noté detf , est le déterminant des n vecteurs transformés des
vecteurs de base par f . En fait, detf ne dépend pas de la base choisie dans un ; detf
est aussi, par définition, le déterminant de la matrice M de f ; il est alors noté detM (voir
matrice). Une condition nécessaire et suffisante pour que f soit une bijection est que
detf soit non nul (la matrice M de f est alors inversible).

Complétez votre recherche en consultant :
Les corrélats
cofacteur
Cramer Gabriel
Jacobi Carl
linéaire
matrice - 2.MATHÉMATIQUES
mixte (produit)
orienté
pivot (méthode du)
produit
rang
Sarrus (règle de)
système d'équations linéaires