Dans quelle mesure les équations différentielles permettent-elles de modéliser l’évolution de la température d’un corps ?

« Dans quelle mesure les équations différentielles permettent-elles de modéliser l’évolution de la température d’un corps ? Je pense qu’il vous est tous déjà arrivé de devoir attendre que votre thé ou votre café ait suffisamment refroidi avant de le boire. Et si je vous disais que vous pouvez facilement évaluer ce temps d’attente grâce à un outil mathématique vu en terminale cette année : les équations différentielles ! Afin de comprendre dans quelle mesure les équations différentielles permettent de modéliser l’évolution de la température d’un corps, je commencerai par vous définir ce qu’est une équation différentielle.

Ensuite, je mettrai en équation l’exemple concret du refroidissement d’un thé, et je résoudrai cette équation différentielle. ( Partie 1 : ) Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction.

Elle se présente sous la forme d’une relation entre cette fonction inconnue, certaines de ses dérivées successives et éventuellement une variable. En classe de terminale, nous avons étudié les équations différentielles du premier ordre et du second ordre.

Le terme « équation différentielle » est apparu pour la première fois sous la plume de Leibniz en 1676.

A la même époque, Isaac Newton travaillait sur la mécanique, et plus particulièrement sur la mécanique céleste et les équations différentielles lui ont permis de résoudre la loi de la gravitation universelle conduisant à l'ellipsité des orbites des planètes dans le système solaire. Beaucoup de phénomènes de physique, en mécanique et électricité par exemple, se ramènent à des équations différentielles et nous verrons donc une des utilisations possibles de ce type d’équation. il faut attendre les travaux d'Euler (1707-1783) et de Lagrange (1736-1813) pour voir apparaître les méthodes permettant la résolution des équations linéaires. Les équations différentielles au XVIIe siècle et au XVIIIe Les problèmes posés ou menant à des équations différentielles sont aussi vieux que l'analyse elle-même.

Avant même qu'on ait complètement élucidé la question des infiniment petits et trouvé des fondements (provisoires), l'on se préoccupe déjà de résoudre des problèmes de tangente, qui mènent invariablement à une équation différentielle .

De la même manière, dès les débuts de la mécanique classique, dite newtonienne, on cherche à résoudre des problèmes de n points matériels qui tous mènent à l'intégration d'un système de 3n équations différentielles du second ordre, où les inconnues sont des fonctions du temps représentant des coordonnées des points. On s'habitue progressivement à ce que l'inconnue d'une équation puisse être une fonction.

La fonction a encore à cette époque, et pour longtemps un statut flou.

Même les fonctions élémentaires ne sont pas exemptes de problèmes.

Une longue polémique occupe toute l'Europe mathématique sur la question des logarithmes des nombres négatifs.

Leibniz s'oppose ainsi à Euler qui est le seul à entrevoir la bonne réponse. (Partie 2 ) Pour notre étude, prenons l’exemple d’un thé dont je déterminerai au bout de quelle durée je pourrai le boire sans me brûler. Je vous invite à consulter le schéma de mon support : le corps étudié est le thé, fluide incompressible à la température initiale de 80°C, noté T0. Ce corps est en contact avec un fluide extérieur, l’air, avec lequel il n’échange pas de matière.

Ce fluide extérieur a une température supposé constante, notée Ta évaluée à 20 °C. Les échanges thermiques entre le thé et l’air ambiant se font.... »