cyanure

« Matrices et problèmes I) définition d'une matrice une matrice de taille n fois p est un tableau de nombres réels, n étant le nombre de lignes et p le nombre de colonnes.

L'élément situé à la ligne I et à la colonne j se note ai,j II) opérations sur les matrices 1) matrice k fois A ( k appartenant à R) La matrice k fois A st constituée des éléments k fois ai,i (tous les éléments de la matrice A sont multipliés par k) 2) addition de deux matrices On peut additionner deux matrices A et B de même taille n fois p .

La somme sera de taille n fois p est constituée des éléments ai,j plus bi,j 3) produit de deux matrices le produit de deux matrices A et B est possibles si A est de taille n fois p et B est de taille p fois q.

Si A fois B = P est possible alors pi,j s'obtient en multipliant la ligne i de A par la colonne j de B.

P est de taille n fois q. 4) Propriétés algébriques : A+B=B+A car l'addition est associative A fois B n'est pas égal à B fois a car la multiplication n'est pas associative A+(B+C)=(A+B)+C car l'addition est commutative A fois (B fois c)= (A fois B) fois C car la multiplication est commutative A(B+C)= AB+AC car c'est la distributivité (A+B)C= AC+BC car distributivité 5) matrices particulières une matrice ligne est une matrice de taille 1 fois n une matrice colonne est une matrice de taille n fois 1 une matrice carrée est une matrice de taille n fois n une matrice diagonale est une matrice carrée ne comportant que des éléments nuls sauf sur sa diagonale propriétés des matrices diagonales : Si A et B sont deux matrices diagonales alors AB=BA et en particulier A exposant k est égal à la matrice avec la diagonale elevée à la puissance k une matrice unité notée I est une matrice diagonale ne comportant que des 1 sur sa diagonale.

Propriété : pour toute matrice A, A fois I = I fois A= A 6) Inverse d'une matrice carrée A) définition Une matrice A est inversible s'il existe une matrice A' telle que AA'=A'A=I A' s'appelle alors inverse de A et se note A-1 B) Remarques Toutes les matrices carrées ne sont pas inversibles Une matrice diagonale est inversible si et seulement si elle ne contient aucun zéro sur sa diagonale.

Dans ce cas on a : a b c qui devient 1/a 1/b 1/c une matrice A (abcd) de taille 2fois 2 est inversible si ad-bc est différent de zéro On a alors A-1= 1/(ad-bc) fois (d -b -c a). »