Cours suites 1

« Chapitre 1 : Suites Partie 1 Contenus Capacités Durée Raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite 2 semaines Raisonnement par récurrence Comportement global (suites monotones, majorées, minorées, bornées) Pour la mise en route : Questions flash, n°4, 5, 6 page 28 Module Calcul Mental du manuel numérique : Développement, dérivation I) Le raisonnement par récurrence 1.

Illustration On considère des dominos placés les uns derrière les autres. Question : quelles sont les conditions pour que tous les dominos se renversent ? Réponse : On renverse le 1er domino et on s’assure que chaque domino renverse le suivant. 2.

Principe du raisonnement par récurrence Principe du raisonnement par récurrence : La démonstration par récurrence est un type de démonstration utilisé pour démontrer qu’une propriété est vraie pour des entiers positifs à partir d’un rang donné 𝑛 . Soit 𝑃(𝑛) une proposition dépendant d’un entier naturel n. Démontrer par récurrence que 𝑃(𝑛) est vraie pour tout entier naturel n consiste à raisonner de la façon suivante :  1ère étape : Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang 𝑛  2ème étape : Hérédité : On vérifie que si la propriété est vraie à un rang 𝑘 ≥ 𝑛 (ce que l’on appelle l’hypothèse de récurrence) alors la propriété est vraie au rang 𝑘 + 1 (le rang suivant k).  3ème étape : Conclusion : on peut conclure que pour tout n, Pn est vraie. Représentation : Remarques :  La propriété P(n) peut être une égalité, une inégalité, une phrase…  La condition d’hérédité est une implication : une propriété est dite « héréditaire » si elle se transmet d’un entier k à son successeur 𝑘 + 1.

Historiquement, le raisonnement par récurrence remonte à Fermat et Pascal (XVIIème siècle)  L’initialisation se fait souvent pour 𝑛 = 0.On vérifie donc que 𝑃(0) est vraie. 3.

Comment démontrer par récurrence ? Exemple 1 : Démontrer par récurrence l’expression générale d’une suite On considère la suite (𝑢 ) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢 = 𝑢 + 2𝑛 + 3 et 𝑢 = 1. Démontrer par récurrence que : 𝑢 = (𝑛 + 1) .  Pour 𝑛 ∈ ℕ, on pose 𝑃 : "𝑢 = (𝑛 + 1) "  Initialisation : Pour 𝑛 = 0 , on a D’une part :(0 + 1) = 1. D’autre part :𝑢 = 1. On a donc bien 𝑢 = (0 + 1)² Donc 𝑃 est vraie.  Hérédité : Supposons que 𝑃 soit vraie pour un certain 𝑘 ∈ ℕ c’est-à-dire :𝑢 = (𝑘 + 1) et montrons que 𝑃 à-dire : 𝑢 = (𝑘 + 1 + 1) = (𝑘 + 2)². est vraie, c’est- On a par définition : 𝑢 = 𝑢 + 2𝑘 + 3 on applique l’hypothèse de récurrence : 𝑢 = (𝑘 + 1) + 2𝑘 + 3, on développe = 𝑘 + 2𝑘 + 1 + 2𝑘 + 3, on réduit = 𝑘 + 4𝑘 + 4, on factorise = (𝑘 + 2) On a donc bien 𝑢 = (𝑘 + 2)² et 𝑃 est vraie.  Conclusion : La propriété est vraie pour 𝑛 = 0 et héréditaire à partir de ce rang.

D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 0, soit : 𝑢 = (𝑛 + 1) pour tout 𝑛 ∈ ℕ. Remarque sur la rédaction : Pour rédiger une démonstration par récurrence : - Faites clairement apparaître les différentes étapes de votre récurrence ; - Dans la 2ème étape, rédiger comme suit : « On considère un entier k fixé et.... »