Cours probabilités conditionnelles

« Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles Activité 1 : Réactivation du vocabulaire et des notions d’intersection et de réunion Pré-requis 1°) Vocabulaire a) Expérience aléatoire On appelle expérience aléatoire une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, sans savoir celui que l’on obtiendra lors de l’expérience. b) Univers L’ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire est appelé univers.

On le note généralement Ω. c) Événements • On appelle événement tout sous-ensemble de l’univers. • On appelle événement élémentaire un événement ne comportant qu’une seule issue. • Lorsque le résultat d’une expérience aléatoire fait partie d’un événement on dit que l’événement est réalisé. d) Événement particuliers • On dit qu’un événement est certain lorsque l’on est sûr qu’il sera réalisé. • On dit qu’un événement est impossible lorsque l’on est sûr qu’il ne sera pas réalisé. • On appelle événement contraire d’un événement A, l’ensemble de toutes les issues de l’univers Ω privé de toutes les issues où A est réalisé.

On le note Ā . • Soient A et B deux événements d’un même univers Ω. * L’événement "A et B", noté A∩B , est réalisé lorsque les deux événements A et B sont réalisés, c’est-à-dire est constitué des issues qui appartiennent à ces deux événements. * L’événement "A ou B", noté A∪B , est réalisé lorsqu’au moins l’un de ces deux événements est réalisé, c’est-à-dire est constitué des issues qui appartiennent à au moins un de ces deux événements ( A ou B ou A∩B ). 2°) Exemple On lance un dé à six faces et on s’intéresse au nombre obtenu sur la face supérieure. Soient les événements : A ‶obtenir un 6″ - B ‶obtenir un nombre impair″ - C ‶obtenir un nombre positif″ - D ‶obtenir un nombre multiple de 7″ • L’univers Ω est : Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6]} A est un événement élémentaire (à 1 issue) B est un événement à 3 issues. C est un événement certain. D est un événement impossible. A et B sont deux événements incompatibles.

A∩B=∅ A∪B={1 ; 3; 5 ; 6} 2°) Probabilité • Définir une loi de probabilité associée à une expérience aléatoire dont l’univers Ω comporte n issues, Ω = {a1 ; a2 ;…..an } une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque événement élémentaire {ai } un nombre pi de l’intervalle [0 ; 1] tel que : p1 + p2 + ….

+ pn = 1 n c’est-à-dire ∀ i⩾0 i⩽n et 0⩽ p i⩽1 et ∑ pi=1 i=1 • Ce nombre pi correspond à la proportion que l’événement élémentaire {ai } se réalise, et est appelé probabilité de l’issue ai • La probabilité d’un événement A, notée p(A), correspond à la somme des probabilités pi des événements élémentaires {ai }qui réalisent A. Pour tout événement A d’une expérience aléatoire dont l’univers est Ω : 0⩽ p ( A )⩽1 ; p(Ω)=1 et p(∅)=0 3°) Équiprobabilité • Lorsque tous les événements élémentaires d’un univers Ω ont la même probabilité, on dit que l’on est dans une situation d’équiprobabilité. • On dit qu’une loi dont l’univers Ω comporte n issues est équiprobable si et seulement si : 1 pi= , pi étant la probabilité de chaque événement élémentaire {ai } de Ω. ∀ i∈ℕ , i⩽n n Le choix du modèle d’équiprobabilité résulte parfois d’une hypothèse implicite, par exemple le fait qu’un dé ou qu’une pièce soit équilibré ou que le tirage se fasse au hasard dans une population. • Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A, c’est-à dire la probabilité que l’événement A soit réalisé, est notée p(A), et : nombres d ' issues favorables à A p( A)= nombre d ' issues possibles Exemple : • Dans le lancer d’une pièce de monnaie équilibrée : 1 Ω= { P ;F } et p({F }) = p({P}) = 2 • Dans le lancer d’un dé non pipé : 1 Ω= {1 ;2 ;3 ; 4 ; 5 ; 6 } et p({1})= p({2})= p({3})= p( {4})= p ({5})=p ({1})= 6 Soit A l’événement "Le nombre obtenu est un diviseur de 6" 4 2 p( A)= = 6 3 Activité 2 : Réactivation des propriétés entre la probabilité de l’intersection et de la réunion de deux événements • Soient A et B deux événements d’un même univers Ω. p( A)=1− p( A) et p( A∪B)= p( A)+ p(B)− p( A∩B) Exemple Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard.

Quelle est la probabilité de l’événement "tirer un roi ou un trèfle"? On considère les événements A : "on tire un trèfle" et B :"on tire un roi" L’événement A∩B est donc l’événement "on tire le roi de trèfle". 1 1 1 p( A)= , p( B)= et p( A∩B)= 8 4 32 L’événement "tirer un roi ou un trèfle"est A∪B La probabilité de tirer un roi ou un trèfle est p( A∪B) 1 1 1 11 p( A∪B)= p( A)+ p( B)− p( A∩B) donc p( A∪B)= + − = 8 4 32 32 Ⅰ Probabilités conditionnelles 1°) Définition Soient une expérience aléatoire dans un univers fini Ω, une probabilité p définie sur Ω et deux événements A et B de Ω tels que p(B) ≠ 0. La probabilité que l’événement A soit réalisé sachant que l’événement B est déjà réalisé est notée p( A∩B) .

On lit pB ( A) :"probabilité de A sachant B" pB ( A)= p(B) Exemple On lance une fois un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1à 6.

Soient A l’événement ‶on obtient un nombre inférieur ou égal à 5″ et B l’événement ‶on obtient un nombre supérieur ou égal à 3″. A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ;5 } et B = { 3 ; 4 ; 5 ; 6 } 5 4 2 3 1 p( A)= , p( B)= = et p( A∩B)= = 6 6 3 6 2 1 p( A∩B) 2 1 3 3 pB ( A)= = = ×( )= 2 2 2 4 p(B) 3 2°) Propriété : Conséquence de la définition Soient une expérience aléatoire dans un univers fini Ω, une probabilité p définie sur Ω et deux événements A et B de Ω tels que p(A) ≠ 0 et p(B) ≠ 0. p( A∩B)= p( A)× p A ( B)=p (B)×p B ( A) Démonstration Quels que soient deux événements A et B de Ω tels que p(A) ≠ 0 et p(B) ≠ 0 p( A∩B) d’après la définition : pB ( A)= donc pB ( A)×p (B)= p( A∩B) p( B) p (B∩ A) de même d’après la définition : p A (B)= donc p A ( B)× p( A)= p( B∩A) p (A ) Or p( A∩B)= p( B∩A) donc p( A∩B)= p( A)× p A (B)=p (B)×p B ( A) 3°) Propriété : Événements contraires Soient une expérience aléatoire dans un univers fini Ω, une probabilité p définie sur Ω et deux événements A et B de Ω tels que p(A) ≠ 0. 0⩽ p A (B)⩽1 et p A (B)=1− p A (B) Démonstrations Quels que soient deux événements A et B de Ω tels que p(A) ≠ 0 • ∅⊂ A∩B⊂ A donc p(∅)⩽p ( A∩B)⩽ p( A) Or p( A)>0 p( A∩B) p ( A) 0 donc ⩽ ⩽ p( A) p( A) p ( A) donc 0⩽ p A ( B)⩽1 • ( A∩B)∪( A∩B)= A donc p(( A∩B)∪( A∩B))= p( A) donc p( A∩B)+ p( A∩B)− p(( A∩B)∩( A∩B))=p ( A) or p(( A∩B)∩( A∩B))=0 p( A∩B)+ p( A∩B)= p( A) p( A∩B)+ p ( A∩B) p( A) p( A∩B) p (A∩B) donc donc = + =1 p (A ) p( A) p (A ) p ( A) donc p A (B)+ p A ( B)=1 donc p A (B)=1− p A (B) 4°) Utilisation d’un arbre pondéré Lorsque l'on veut déterminer la probabilité d’un événement d’une expérience aléatoire, on peut tracer un arbre pondéré, traduisant les probabilités de chacun des événements successifs. a) Exemple Une urne contient 2 jetons verts, 5 jetons noirs et 3 jetons rouges.

On effectue deux tirages successifs sans remise et on note à chaque tirage la couleur. On regarde les couleurs obtenues à la fin des deux tirages. Cette expérience en deux étapes peut être représentée par un arbre pondéré. On note N l’événement ‶le jeton tiré est noir″ et V l’événement ‶le jeton tiré est vert″ et R l’événement ‶le jeton tiré est rouge″. Tirage 1 Tirage 2 1/9 V 5/9 Issues V N (V ; V ) (V ; N) Probabilités la probabilité conditionnelle qu’on tire un jeton vert sachant que l’on a déjà tiré un jeton vert est : 1/9 2/10 =1/5 R 3/9 =1/3 5/10 2/9 N 4/9 (V ; R) V N (N ; V) (N ; N) la probabilité conditionnelle qu’on tire un jeton noir sachant que l’on a déjà tiré un jeton noir 3/10 R.... »