Cours de Terminale / Combinatoire et dénombrement

« Cours de Terminale / Combinatoire et dénombrement Septembre 2024 Table des matières 3 Combinatoire et dénombrement 3.1 Cardinal d’ensembles .

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. 3.1.1 Cardinal et réunion .

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. 3.1.2 Produit cartésien .

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. 3.2 Arrangements et permutations 3.3 Combinaisons .

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. 3.3.1 Parties d’un ensemble . 3.3.2 Nombre de combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 5 5 5 Chapitre 3 Combinatoire et dénombrement 3.1 Cardinal d’ensembles Définition 1 Le cardinal d’un ensemble A, noté Card(A), est le nombre d’éléments qu’il contient. 3.1.1 Cardinal et réunion Proposition 1 Pour deux ensembles A et B, on a Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) A B A∩B Exercice 1 Dans un groupe de 20 personnes, 15 aiment lire et 8 faire du sport. Combien de personnes aiment à la fois lire et faire du sport ? combien n’aiment que lire ? Définition 2 Deux ensembles sont disjoints lorsque A ∩ B = ∅. Proposition 2 Si A et B sont deux ensembles disjoints, alors on a Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B). Plus généralement, pour des ensembles A1 , A2 , .

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., An finis deux à deux disjoints, alors on a Card(A1 ∪ A2 ∪ .

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An ) = Card(A1 ) + Card(A2 ) + · · · + Card(An ) = n X i=1 2 Card(Ai ) E.

Dostal - 2024 3.1.2 CHAPITRE 3.

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT Produit cartésien Définition 3 Le produit cartésien de A et B est l’ensemble, noté A × B ("A croix B"), constitué des couples (x; y) où x est un élément de A et y un élément de B. Plus formellement, on a n o A × B = (x; y) , x ∈ A , y ∈ B On note ensuite A2 = A × A, A3 = A × A × A, .

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. Par exemple pour A = (1; 2) et B = (3; 4), on a A × B = ((1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)). On note R2 = R × R qui est l’ensemble des couples (x, y) de R × R. Proposition 3 Pour A et B deux ensembles finis, on a Card(A × B) = Card(A) × Card(B) Définition 4 Un n-uplet d’un ensemble A est un élément de An . Pour n = 2, un 2-uplet, élément de A2 = A × A, est aussi un couple. Pour n = 3, un 3-uplet, élément de A3 = A × A × A, est aussi un triplet. Remarque : Les éléments de R2 sont des couples (coordonnées des points et vecteurs dans le plan), par exemple (1; 2) ∈ R2 et (2; 1) ∈ R2 (l’ordre compte !). Les éléments de R3 sont des triplets (coordonnées des points et vecteurs dans l’espace). Proposition 4 Pour un ensemble fini A et n un entier naturel Card(An ) = Card(A)n Exercice 2 Soit E = (0; 1).

Donner tous les 3-uplets (ou triplets) de E.

Combient y en a-t-il ? Exercice 3 Soit E et F deux ensembles disjoints composés respectivement de 4 et 5 éléments. Calculer le nombre d’éléments de E ∪ F , E × F , E 2 , F 2 et E 3 . Exercice 4 « Cent mille milliards de poèmes » est un recueil de poèmes écrit par Raymond Queneau en 1961.

Ce livre contient 10 pages, dont chacune est découpée en 14 vers interchangeables.

Le lecteur compose ainsi un poème en choisissant les vers les uns après les autres. Le titre est-il exact ? Commenter la préface de R.

Queneau :« Ce petit ouvrage permet à tout un chacun de composer à volonté cent mille milliards de sonnets, tous réguliers bien entendu.

C’est somme toute une sorte de machine à fabriquer des poèmes, mais en nombre limité ; il est vrai que ce nombre, quoique limité, fournit de la lecture pour près de deux cents millions d’années »(NB : Queneau compte 45s pour lire un sonnet, 15s pour changer les volets). Exercice 5 1.

Un code PIN de smartphone est composé de 4 chiffres.

Combien de codes PIN différents peut-on former ? 2.

Un mot de passe est composé de 7 caractères : 5 lettres puis 2 chiffres.

Combien de mots différents existe-t-il ? 3.

Un mot de passe est composé de 7 caractères, lettres ou chiffres.

Combien de mots différents existe-t-il ? 3 E.

Dostal - 2024 3.2 CHAPITRE 3.

COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT Arrangements et permutations Définition 5 Soit A un.... »