Cours de probabilités, loi binomiale.

« Probabilités (partie 1) I .

RAPPELS 1.1.

Vocabulaire des évènements Définition        Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité liée à l’expérience aléatoire. L’ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω. Un événement d’une expérience aléatoire est une partie quelconque de l’univers, Un événement ne comprenant qu’une seule éventualité est un événement élémentaire. L’événement qui ne contient aucune éventualité est l’événement impossible, noté ∅, L’événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain. Pour tout événement A on appelle 𝐴̅ l’événement contraire de A qui est composé des éléments de Ω qui ne sont pas dans A.

On a en particulier A ∪ 𝐴̅ = Ω et A ∩ 𝐴̅ = ∅. Exemple : - Expérience aléatoire : Lancer d’un dé à six faces Univers : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. A = "obtenir un 5" est un événement élémentaire que l’on peut noter A = {5}, B = "obtenir un numéro pair" est un événement que l’on peut noter B = {2; 4; 6}. "obtenir 7" est un événement impossible, "obtenir un nombre positif" est un événement certain. 𝐵̅ = "obtenir un nombre impair" est l’événement contraire de 𝐵 𝐵̅ = { 1; 3; 5 } Dans toute la suite du cours, on suppose que Ω est l’univers associé à une expérience aléatoire, et A et B deux événements associés à cet univers. 1.2.

Intersection et réunion d’évènements Définition  Si 𝐴 et 𝐵 sont deux évènements d’une même expérience aléatoire : 𝐴 ∩ 𝐵 est l’ensemble des issues qui réalisent 𝐴 ET 𝐵 (les deux à la fois). 𝐴∩𝐵  𝐴 𝐵 Vocabulaire : 𝐴 ∩ 𝐵 se lit «A inter B» 𝐴 ∪ 𝐵 se lit « A Union B »  𝐴 ∪ 𝐵 est l’ensemble des issues qui réalisent 𝐴 OU 𝐵 (au moins l’un des deux). 𝐴∪𝐵  𝐴 𝐵 Remarque : Si A ∩ B = ∅, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles. 𝐴 𝐵 Exemple : On tire d’une urne, au hasard, un chiffre compris entre 0 et 9. On note A l’événement "obtenir un chiffre pair" et B l’événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six" - A ∩ B = "obtenir simultanément un chiffre pair et strictement inférieure à six" : A ∩ B = {2; 4}, - A ∪ B = "obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A ∪ B = {0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8 ; 9}. Probabilités (partie 1) page 1 1.3.

Représentation des évènements Diagrammes de Venn Tableaux On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule le produit obtenu : Arbres On lance une pièce de monnaie trois fois de suite, on peut schématiser cette expérience par un arbre : 1.4.

Calcul de probabilités Définition : Dans un univers fini :  La probabilité est un nombre positif.  La somme des probabilités est égale à 1.  Une probabilité d’un évènement d’univers Ω est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constitue.  On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

(Propriété : Dans ce cas, 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑑𝑒 𝐴 𝐶𝑎𝑟𝑑(𝐴) on a 𝑃 (𝐴) = 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑑𝑒 Ω = 𝐶𝑎𝑟𝑑(Ω) Remarque : Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans l’énoncé une expression du type : • on lance un dé non pipé, • dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher, • on rencontre au hasard une personne parmi .

.

. Propriété : Soit A et B deux événements, on a les propriétés suivantes : ➔ 𝑃(∅) = 0. ➔ 𝑃(Ω) = 1 ➔ 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. ➔ 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴). ➔ 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). Définition : Si 𝐴 et 𝐵 sont disjoints alors, 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Exemple : On considère l’ensemble E des entiers de 1 à 20.

On choisit l’un de ces nombres au hasard. A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 » on a donc 𝐴 = {3; 6; 9; 12; 15; 18}, B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 » on a donc 𝐵 = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, Calul des probabilités : 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′ é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑑𝑒 𝐴 6 3 ➔ 𝑃(𝐴) = 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑′é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠𝑑𝑒 Ω = 20 = 10 = 0, 3. 3 7 ➔ 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 10 = 10 = 0, 7. ➔ 𝑃(𝐵) = 10 20 = ➔ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1 2 3 20 = 0, 5. = 0, 15. 6 10 3 13 ➔𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 20 + 20 − 20 = 20 = 0, 65 Probabilités (partie 1) page 2 II .

Probabilités conditionnelles 2.1.

Définition Définition : On suppose que 𝑃(𝐵) ≠ 0.  On appelle probabilité conditionnelle de 𝐴 relativement à 𝐵 ou de 𝐴 sachant 𝐵 la probabilité que l’événement 𝐴 se réalise sachant que 𝐵 est réalisé. Cette probabilité vaut 𝑃𝐵 (𝐴) =  𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) Exemple : Soit l’expérience aléatoire : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit 𝐴 l'événement "Le résultat est un pique". Soit 𝐵 l'événement "Le résultat est un roi". Donc 𝐴 ∩ 𝐵 est l'événement "Le résultat est le roi de pique". 8 1 1 Alors : 𝑃(𝐴) = 32 = 4 et (𝐴 ∩ 𝐵) = 32. Donc la probabilité que le résultat soit un roi sachant qu'on a tiré un pique est donc : 𝑃(𝐴∩𝐵) 1 1 1 𝑃𝐴 (𝐵) = 𝑃(𝐴) = 32 : 4 = 8. On peut retrouver intuitivement ce résultat.

En effet, sachant que le résultat est un pique, on a une chance sur 8 d'obtenir le roi parmi les piques. 2.2.

Propriétés Propriété 1 : Pour tous événements A et B de probabilité non nulle, on a : 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃𝐵 (𝐴) = 𝑃(𝐴) × 𝑃𝐴 (𝐵) Démonstration : Pour 𝑃(𝐴) ≠ 0 et 𝑃(𝐵) ≠ 0, on peut écrire : • 𝑃𝐵 (𝐴) = • 𝑃𝐴 (𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴) d’où 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃𝐵 (𝐴). d’où 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃𝐴 (𝐵). Propriétés 2 : Soit S un événement de probabilité non nulle, on a : ➔ 0 ≤ 𝑃𝑆 (𝐴) ≤ 1 ➔ 𝑃𝑆 (Ω) = 1. ➔ 𝑃𝑆 (∅) = 0. ➔0 ≤ 𝑃𝑆 (𝐴) ≤ 1. ̅) ➔ 𝑃𝑆 (𝐴 ➔ 𝑃𝑆 (𝐴 = 1 − 𝑃𝑆 (𝐴). ∪ 𝐵) = 𝑃𝑆 (𝐴) + 𝑃𝑆 (𝐵) − 𝑃𝑆 (𝐴 ∩ 𝐵) ➔ Si 𝐴 et 𝐵 sont des événements incompatibles, alors 𝑃𝑆 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃𝑆 (𝐴) + 𝑃𝑆 (𝐵) Remarque : Une probabilité conditionnelle relative à un événement 𝑆 a toutes les propriétés habituelles du calcul des probabilités. Propriété 3 (Formule des probabilités totales) Pour tout évènement 𝐴 et 𝐵 avec 𝑃(𝐵) ≠ 0 et 𝑃(𝐵̅) ≠ 0 : 𝑃(𝐴) = 𝑃𝐵 (𝐴) × 𝑃(𝐵)+𝑃𝐵̅ (𝐴) × 𝑃(𝐵̅ ) Démonstration : 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅) = 𝑃𝐵 (𝐴) × 𝑃(𝐵) + 𝑃𝐵̅ (𝐴) × 𝑃(𝐵̅ ) Probabilités (partie 1) page 3 2.3.

Arbre pondéré Il est parfois utile de représenter une situation de probabilités par un arbre pondéré et de savoir utiliser cet arbre pour faire des calculs de probabilités. Vocabulaire : On appelle arbre pondéré un arbre pour lequel chaque branche est associée à une probabilité, comme ci-après. Une branche correspond à un trait oblique et un nœud est le point de départ de plusieurs branches. Règles sur un arbre pondéré: - Sur chaque branche de l’arbre, on écrit les probabilités correspondantes (! Attention ! : pas de pourcentage) - La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même.... »