cours de math sur les fonction exponentielle

« Première générale Cours Mathématiques Fonction exponentielle 1.

Définition et propriétés algébriques 1.1.

La fonction exponentielle Propriété et définition (admis) : Il existe une fonction 𝑓 et une seule définie et dérivable sur ℝ telle que : 𝑓’ = 𝑓 et 𝑓(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp. Ainsi pour tout réel 𝑥, exp’(𝑥) = exp(𝑥) et exp(0) = 1 1.2.

Propriétés algébriques Propriétés : Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 , on a : • exp(𝑥 + 𝑦) = exp(𝑥) × exp(𝑦) • exp(−𝑥) × exp(𝑥) = 1 exp (𝑥) • exp(𝑥 − 𝑦) = exp (𝑦) • Pour tout entier 𝑛, exp(𝑛𝑥) = (exp (𝑥))𝑛 1.3.

Nombre 𝒆 et notation 𝒆𝒙 Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée 𝑒.

Ainsi exp(1) = 𝑒. Une valeur approchée de ce nombre au millième est 2,718. Par convention, on décide de noter pour tout réel 𝑥 : exp(𝑥) = 𝑒 𝑥 Propriétés : Avec la notation utilisant le nombre e, • e0 = 1 et e1 = e • Pour tous réels x et y, on a : 𝟏 𝐞−𝐱 = 𝐱 𝐞𝐱+𝐲 = 𝐞𝐱 × 𝐞𝐲 𝐞 • Pour tout entier naturel n : 𝐞 𝐧𝐱 𝐞𝐱−𝐲 = 𝐱 𝐧 𝐞𝐱 𝐞𝐲 = (𝐞 ) Exemple : Simplifier une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle Simplifier les expressions suivantes : a) 𝑒 b) 3𝑥 × 𝑒 𝑒 2𝑥−3 𝑒 𝑥−1 5−𝑥 =𝑒 3𝑥+5−𝑥 =𝑒 a) 𝑒 2𝑥+5 3𝑥 × 𝑒 5−𝑥 b) 𝑒 2𝑥−3 𝑒 𝑥−1 = 𝑒 2𝑥−3−(𝑥−1) = 𝑒 2𝑥−3−𝑥+1 = 𝑒 𝑥−2 Analyse 1. »