Correction de l'épreuve de mathématiques du CRPE 2007du sujet d'Amiens, Lille, Rouen, Paris, Créteil,VersaillesDenis Vekemans*Exercice 11.

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Soient x, x + 1 etx+ 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut 207.

Dans ce cas, x + ( x+ 1) + ( x+ 2) = 3 ×x+ 3 = 207 puis3× x= 207 3 = 204 etx= 204 3 = 68 .

On vérie que 68 + 69 + 70 = 207 . 2.

Soient x, x + 1 etx+ 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut 329.

Dans ce cas, x + ( x+ 1) + ( x+ 2) = 3 ×x+ 3 = 329 puis3× x= 329 3 = 326 etx= 326 3 = 108 + 1 3 / N.

On ne peut donc pas écrire 329comme somme de trois entiers naturels successifs. 3.

" Nest somme de trois entiers naturels consécutifs" équivaut à " N3est divisible par 3".  Soit Nun entier naturel.

Soient x, x + 1 etx+ 2 les trois nombres naturels successifs dont la somme vaut N.

Dans ce cas, x+ ( x+ 1) + ( x+ 2) = 3 ×x+ 3 = Nou 3× x+ 3 = N. Dès lors, on déduit que (1) : " N3" [en eet, x 0donc 3× x+ 3 3] et que (2) : " Nest divisible par 3" [en eet, 3× xest divisible par 3et 3est divisible par 3donc, par somme, 3× x+ 3 est divisible par 3].  Réciproquement, si N3est divisible par 3, on peut écrire N= 3 ×avec 1un entier naturel. Et, N= ( 1) + + ( + 1) est somme de trois entiers naturels consécutifs 1, , + 1 . 4.

N= 47d5 un nombre qui est somme de trois entiers naturels consécutifs.

D’a près la question précédente, cela induit que N= 47d5 est divisible par 3.

Cependant, d’après le critère de divisibilité par 3, cela induit encore que 4 + 7 +d+ 5 = 16 + dest divisible par 3puis que d= 2 oud= 5 oud= 8 . Les seules solutions sont donc 4725 = 1574 + 1575 + 1576;4755 = 1584 + 1585 + 1586 ; et4785 = 1594 + 1595 + 1596 . Questions complémentaires . Université du Littoral Côte d’Opale ; Laboratoire de mathém atiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1. »