Continuité d’une fonction (cours)

« Continuité d’une fonction  f définie sur un intervalle ouvert contenant x0, f est continue en x0 lorsque (on écrit aussi :  lim f (x) = f (x 0 ) x "x 0 lim f (x 0 + h) = f (x 0 ) ) ; graphiquement = fonction tracée sans lever le crayon h "0 si l’intervalle [a ;b] est fermée, il faut de plus que ! f (x) = f (b) lim = f (a) et lim x "a x "b x>a ! x u+v et uv continues sur I ; u/v continue sur les intervalles où u/v est définie  f continue en x0 et g continue en f(x0), gof continue en x0  si f est dérivable en x0, alors f est continue en x0 (/!\ la réciproque est fausse)  théorème des valeurs intermédiaires : f définie et continue sur I, a et b deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k  l’ensemble des images f(x) quand x I est appelé l’image de I par f et noté f( I )  f( I ) d’un intervalle I par une fonction continue est un intervalle  si I = [a ;b], f( I ) n’est pas forcément un segment de bornes f(a) et f(b) théorème de la bijection : f continue et strictement monotone sur [a ;b] ; pour tout réel [f(a) ;f(b)], il existe un unique réel c [a;b] tel que f(c) = k (= f(x) = k n’a qu’une solution dans [a ;b])  k  si f est strictement croissante, f est une bijection de [a ;b] sur [f(a) ;f(b)]  si f est strictement décroissante, f est une bijection de [a ;b] sur [f(b) ;f(a)] démonstration : existence de la solution : elle découle de la continuité de la fonction f et du théorème des valeurs intermédiaires unicité de la solution : (raisonnement par l’absurde, pour f strictement croissante) soit c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k et soit c’ ∈ [a ; b] tel que f(c’) = k tel que c ≠ c’ on a alors soit c > c’ et dans ce cas f(c) > f(c’), soit c < c’ et dans ce cas f(c) < f(c’), donc on ne peut pas avoir f(c) = f(c’) lorsque c ≠ c’ on admet que le théorème se généralise au cas où la fonction est définie sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert dans le cas où les limites aux bornes de l’intervalle sont connues : on applique le théorème à tout réel k compris entre les limites des bornes de l’intervalle   remarque : une flèche dans un tableau de variation indique la continuité et la stricte monotonie d’une fonction sur l’intervalle correspondant donc donne toutes les informations nécessaires pour appliquer le théorème de la bijection.. »